a) Cho hàm số $y=\frac{x^2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $A,B$ là hai điểm phân biệt nằm trên $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $d:y=x-1$. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

b) Cân nặng trung bình của một bé trai trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số $w(t)=0,000341t^3-0,0268t^2+0,819t+3,67$, trong đó $t$ được tính bằng tháng và $w$ được tính bằng kilôgam. Biết tốc độ thay đổi cân nặng của bé trai tại thời điểm $t$ (tháng) được tính bằng công thức $w^{\prime }(t)$. Hỏi thời điểm nào tốc độ thay đổi cân nặng của bé trai là nhỏ nhất?

a) Ứng với mỗi số nguyên dương $2\le n\le 28$, đặt

$$S_n=\left\{x^2+2026|x=\overline{1,n}\right\}\text{ vaˋ }{T}_n=\prod _{\begin{array}{c}a,b\in S_n\\ a>b\end{array}}(a-b).$$

Tìm $n$ nhỏ nhất để $T_n⋮29$.

b) Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ thỏa mãn

$$\left(x^2-6x+8\right)P(x)=\left(x^2+2x\right)P(x-2),\forall x\in \mathbb{R}.$$

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{a_n^2}{a_n^2-a_n+1},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Chứng minh $(a_n)$ là dãy số giảm.

b) Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$. Tính $\lim b_n$.

Xét hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ thỏa mãn điều kiện

$$(m+n):(f(m)+f(n)),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

a) Tính $f(3)$.

b) Tìm tất cả các hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cần nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy.

b) Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.