Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $OA=8,OC=6,O{O}^{\prime }=3$ như hình vẽ sau đây:

Xét dãy vô hạn các hình vuông $V_1,V_2,V_3\dots$ được đặt kề nhau như hình vẽ. Trong đó, $V_1$ có cạnh bằng 1 và kể từ hình vuông thứ hai trở đi, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{3}{4}$ cạnh hình vuông kề trước nó. Một con kiến xuất phát từ đỉnh $A$ của $V_1$, đi ngang sang phải và dọc xuống dưới theo các nét tô đậm của tất cả các hình vuông. Tính quãng đường đi được của con kiến.

An cần mua một số hộp bánh để dùng trong những ngày Tết, cụ thể như sau:

- Hộp nhỏ: ít nhất 3 hộp và nhiều nhất 10 hộp với giá 100 nghìn đồng mỗi hộp.

- Hộp lớn: ít nhất 1 hộp và nhiều nhất 5 hộp với giá 300 nghìn đồng mỗi hộp.

Cửa hàng sẽ miễn phí giao hàng nếu giá đơn hàng tối thiểu 900 nghìn đồng. Hỏi An cần mua tối thiểu bao nhiêu hộp bánh (gồm cả hộp nhỏ và hộp lớn) để được miễn phí giao hàng?

An có tấm nhôm hình chữ nhật $ABCD$ với $AB=3$ dm, $AD=18$ dm. An gấp tấm nhôm của mình theo các nếp gấp $EF,GH,IJ,KL$ như Hình 1 để tạo nên ba mặt sàn và hai mặt bên của một cái kệ như Hình 2, trong đó $ABEF.JIHG$ và $JIHG.KLCD$ là hai hình hộp chữ nhật bằng nhau. Khối hộp chữ nhật $ABEF.KLCD$ có thể tích lớn nhất là bao nhiêu dm${}^3$?



Hình 1



Hình 2

Cho hình chóp $S.ABC$ có các cạnh $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc với nhau, $SA=6,SB=8,SC=8$. Lấy $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $AB,AC,AS$ sao cho $AM=1,AN=2,AP=3$. Khối chóp $A.MNP$ có thể tích là bao nhiêu?

Giải phương trình $\sin 2x-\sin x=0$.

Cho dãy số $(u_n)$ với
$$u_n=\frac{n}{n+1}$$
Chứng minh $(u_n)$ tăng và bị chặn.

Cho ba số thực dương $x,y,z$ có tổng bằng 14, theo thứ tự lập thành một cấp số nhân và ba số ${\log }_{2}x$, ${\log }_{4}y$, ${\log }_{8}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Hãy tìm $x,y$ và $z$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A{A}^{\prime }=a\sqrt{5}$, $BC=2a$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm cạnh $BC$.

a) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

b) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.

Một hàng rào cao 2 mét, song song và cách bức tường của một ngôi nhà 1 mét. Đặt một cái thang sao cho đầu thang tựa vào tường, chân thang ở bên ngoài hàng rào và thân thang vừa chạm hàng rào như hình vẽ. Giả sử chiều dài thang là $l$ mét và khoảng cách từ chân thang đến hàng rào là $x$ mét.



a) Tính $l$ theo $x$.

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $l$.

Cho lưới hình chữ nhật $ABCD$ gồm $m\times n$ ô vuông cạnh bằng 1 (với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Xét đường đi có độ dài $(m+n)$ từ $A$ đến $C$ dọc theo các đường lưới và đổi hướng đúng $k$ lần $(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$.

a) Tính số đường đi ứng với $m=n=4$ và $k=2$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).



b) Tính số đường đi ứng với $m=8,n=10$ và $k=4$ (hình vẽ dưới đây mô tả một trong số các đường đi).