Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $OABC.O^{\prime }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $OA=8,OC=6,O{O}^{\prime }=3$ như hình vẽ sau đây:

(1 điểm) Trong một căn phòng, hai bức tường được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với sàn nhà. Người ta căng một sợi dây đèn LED trang trí nối từ điểm $M$ trên bức tường thứ nhất đến điểm $N$ trên bức tường thứ hai. Biết điểm $M$ cách bức tường thứ hai một khoảng $2,5m$ và cách sàn nhà $1,5m$. Điểm $N$ cách bức tường thứ nhất một khoảng $1,2m$ và cách sàn nhà là $2,4m$. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ)

a) Xác định tọa độ của hai điểm $M$ và $N$ trong hệ tọa độ đó.
b) Tính chiều dài của sợi dây đèn LED.

Hai vách ngăn của một gian hàng hội chợ được dựng vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt sàn. Để tăng cường độ vững chãi, người thợ lắp một thanh sắt hàn nối từ điểm $P$ trên vách thứ nhất đến điểm $Q$ trên vách thứ hai. Biết điểm $P$ cách vách thứ hai là $4m$ và cách mặt sàn là $1,2m$, điểm $Q$ cách vách thứ nhất là $3m$ và cách mặt sàn là $3,7m$. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ)

a/ Xác định tọa độ của hai điểm $P$ và $Q$ trong hệ tọa độ đó.
b/ Tính độ dài thanh sắt $PQ$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-\vec{j}+3\vec{k}$. Tọa độ của điểm $M$ là

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;-1),B(2;-1;3),C(-2;3;3)$. Điểm $M(a;b;c)$ là điểm thứ tư của hình bình hành $ABCM$, khi đó biểu thức $P=a^2+b^2+c^2$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)$.

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2),C(0;3;2),A^{\prime }(9;0;5)$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$.