Một hồ bơi có dạng là một hình chữ nhật với chiều dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt có đường kính 10 m được thiết kế như hình vẽ bên. Trong một lần bể bơi vắng người, bạn Nam đã thực hiện một chu trình bơi như sau: xuất phát từ $A$, bơi theo đường thẳng đến $C$ rồi bơi tiếp thẳng đến $M$, với $M$ là vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Sau đó từ $M$ Nam đi bộ dọc theo bờ hồ qua $D$ để quay lại vị trí $A$ (theo chiều mũi tên trên hình) và kết thúc chu trình. Biết rằng vận tốc bơi của Nam là $0,6m/s$ và vận tốc đi bộ là $1,2m/s$ (giả sử vận tốc bơi và vận tốc đi bộ không thay đổi trong chu trình trên). Hỏi thời gian tối đa để Nam thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút?

Trong không gian $Oxyz$, đài kiểm soát không lưu sân bay đặt ở gốc tọa độ $O(0;0;0)$, mỗi đơn vị trên trục là 100 ki-lô-mét $(km)$. Một máy bay chuyển động theo đường thẳng, bay qua hai vị trí $M(-4;-2;3)$ và $N(5;10;9)$. Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất thì khoảng cách giữa vị trí của máy bay và đài kiểm soát không lưu là bao nhiêu $km$?

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $AB=a$, $AD=3a$, $A{A}^{\prime }=2a$ $(a>0)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }BC$. Biết thể tích khối chóp $G.ABCD$ bằng $\frac{m{a}^3}{n}$, với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị $P=m\sqrt{n}$?

Cho hình chữ nhật có kích thước 6 x 4 được ghép từ các hình vuông đơn vị (như hình vẽ bên). Một con bọ từ vị trí $A$ di chuyển trên cạnh của hình vuông theo hướng lên trên hoặc sang phải, mỗi lần nó di chuyển được 1 đơn vị. Tính xác suất để con bọ di chuyển từ điểm $A$ đến điểm $B$ sao cho nó không di chuyển sang phải hai lần liên tiếp.

Cho biểu thức $f(x)=(1+x)+(1+2x{)}^2+(1+3x{)}^3+\dots +(1+nx{)}^n$ được khai triển thành $f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ với $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_n^1+2C_n^2+2^2{C}_n^3+\dots +2^{n-1}{C}_n^n=3280$. Tính $S=10\sqrt{a_0+a_1+\dots +a_n}$.