Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài các cạnh $AB=a$, $AD=3a$, $A{A}^{\prime }=2a$ $(a>0)$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }BC$. Biết thể tích khối chóp $G.ABCD$ bằng $\frac{m{a}^3}{n}$, với $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị $P=m\sqrt{n}$?

Cho khối chóp có diện tích đáy $B=3a^2$ và chiều cao $h=2a$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng

Người ta đổ 500 lít nước vào một bể chứa khối hộp chữ nhật có chiều dài là 10 dm và chiều rộng là 5 dm. Khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể bằng bao nhiêu de-ci-mét?

Cho lăng trụ $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $AB=2a$ và $AC=a$. Gọi trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mp$(ABC)$ và $A{A}^{\prime }=3a$.

(2.0 điểm) Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $AB=1,AC=2$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ và $SA\perp (ABC)$. Gọi $M,N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên cạnh $SB,SC$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $SA$ với mặt phẳng $(AMN)$ sao cho $\sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{7}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Một chi tiết máy mẫu bằng nhựa đúc đặc có dạng hình chóp tứ giác đều, cạnh đáy bằng 20 cm. Do bị lỗi kỹ thuật, bên trong chi tiết này có một khoang rỗng. Để kiểm tra, kỹ sư thả chìm hoàn toàn chi tiết máy vào một bể chứa dung dịch chống gỉ có dạng hình lăng trụ đứng, có đáy là hình vuông cạnh bằng 30 cm. Khi đó, mực dung dịch trong bể dâng thêm 2 cm và dung dịch đã tràn vào và lấp đầy khoang rỗng bên trong. Sau khi vớt chi tiết ra và lau khô bề mặt, khối lượng của nó tăng thêm 160 gam so với ban đầu. Biết khối lượng riêng của dung dịch là $0,8{\text{ g/cm}}^3$. Hãy tính độ dài cạnh bên của hình chóp nói trên. (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Cho lăng trụ đứng $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đáy là tam giác đều có độ dài cạnh bằng 3, gọi $I$ là trung điểm cạnh $BC$ và biết góc $\widehat{A^{\prime }IA}=30^{\circ }$ (hình vẽ).

Tính thể tích của lăng trụ ( kết quả được làm tròn đến chữ số hàng phần trăm )?