Cho dãy số $(u_n)$ với $\{\begin{array}{l}{u}_1=\sqrt{2026}\\ u_{n+1}=(n+2)u_n\end{array}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Tính giá trị $S_{10}=\frac{1}{u_1}+\frac{2}{u_2}+\dots +\frac{10}{u_{10}}$.

Cho dãy số $(a_n)$: $\{\begin{array}{l}{a}_1=2026\\ n{a}_n=a_{n-1}+1,\forall n\ge 2\end{array}$. Xác định giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương $k$ sao cho $2026a_k<1$.

Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $x_0=0,x_1=1$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb{N}$.

a) Chứng minh rằng biểu thức $\frac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $21x_n^2+4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 0$ sao cho biểu thức $B_n=21x_n^2+3$ là một số nguyên tố.

Một robot vẽ hoa văn trang trí trên một tấm nhựa hình vuông có diện tích $1m^2$ theo nguyên lí tự lập: lần thứ nhất, chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn hình vuông ở chính giữa; ở mỗi lần tiếp theo, chỉ với các hình vuông chưa vẽ hoa văn, mỗi hình vuông tiếp tục chia thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn ở hình vuông trung tâm (hình minh họa bên dưới). Quy trình trên được thực hiện liên tiếp n lần $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=2^n+1$. Giá trị $u_5$ là

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3$ và $u_n-u_{n-1}=2n-3$ với mọi $n\ge 2$. Tìm giá trị $\frac{u_{1000}}{109}$.

Cho dãy số $(u_n)$ bằng phương pháp truy hồi: $u_1=19$ và $u_n=u_{n-1}+2$ với mọi $n\ge 2$. Tìm số hạng thứ ba của dãy số $(u_n)$.