Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi: $x_0=0,x_1=1$ và $x_{n+2}=5x_{n+1}-x_n,\forall n\in \mathbb{N}$.

a) Chứng minh rằng biểu thức $\frac{x_{2n}}{x_n}$ là một số nguyên với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ và $21x_n^2+4$ là một số chính phương với mọi số tự nhiên $n$.

b) Tìm tất cả các số nguyên $n\ge 0$ sao cho biểu thức $B_n=21x_n^2+3$ là một số nguyên tố.

Một robot vẽ hoa văn trang trí trên một tấm nhựa hình vuông có diện tích $1m^2$ theo nguyên lí tự lập: lần thứ nhất, chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn hình vuông ở chính giữa; ở mỗi lần tiếp theo, chỉ với các hình vuông chưa vẽ hoa văn, mỗi hình vuông tiếp tục chia thành 9 hình vuông bằng nhau và vẽ hoa văn ở hình vuông trung tâm (hình minh họa bên dưới). Quy trình trên được thực hiện liên tiếp n lần $\left(n\in N^{\ast }\right)$.

Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n=2^n+1$. Giá trị $u_5$ là

Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_1=3$ và $u_n-u_{n-1}=2n-3$ với mọi $n\ge 2$. Tìm giá trị $\frac{u_{1000}}{109}$.

Cho dãy số $(u_n)$ bằng phương pháp truy hồi: $u_1=19$ và $u_n=u_{n-1}+2$ với mọi $n\ge 2$. Tìm số hạng thứ ba của dãy số $(u_n)$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn:
$$f(x+a)=f(x)+f(a)-2f(x)\cdot f(a)\forall x,a\in \mathbb{R}$$
$$f(1)=1$$

Giá trị của $H=f(2027)+f(2026)$ là ?

(7,0 điểm) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $(u_n-u_{n-1})(u_n-1)(u_{n-1}+1)=u_n{u}_{n-1}$ và $0<u_n\le u_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$.

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số $(u_n)$.

b) Đặt $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$. Chứng minh rằng, $\ln \left(\frac{n}{2}+1\right)<S_n<\ln (n+1)$ với mọi $n\ge 1$.