Sau khi thi tốt nghiệp trung học phổ thông, các em học sinh khối 12 của trường trung học phổ thông A đã hẹn nhau mỗi năm họp mặt một lần vào ngày hội trại của trường. Tuy nhiên qua 10 lần họp mặt thì nhận thấy mỗi lần họp mặt chỉ có đúng 20 thành viên tham dự và 2 lần họp mặt bất kỳ trong 10 lần họp mặt không có chung quá 2 thành viên. Hỏi khối 12 năm học đó của trường trung học phổ thông A có ít nhất bao nhiêu học sinh?

Gọi $N$ là số học sinh đã xuất hiện trong ít nhất một lần họp mặt.
Với mỗi học sinh $s$, gọi $a_s$ là số lần họp mặt mà học sinh đó tham dự.
Tổng số lượt tham dự là ${\sum }_s{a}_s=10\cdot 20=200$.
Mỗi học sinh xuất hiện trong $a_s$ lần tạo ra $C_{a_s}^2$ cặp lần họp mặt có chung học sinh ấy.
Vì mỗi cặp trong $C_{10}^2=45$ cặp lần họp mặt có chung không quá 2 người nên ${\sum }_s{C}_{a_s}^2\le 2C_{10}^2=90$.
Với mọi số nguyên $a_s\ge 1$, ta có $C_{a_s}^2\ge a_s-1$ nên $200-N={\sum }_s(a_s-1)\le {\sum }_s{C}_{a_s}^2\le 90$.
Do đó $N\ge 110$. Ta sẽ chỉ ra đây chính là giá trị nhỏ nhất của $N$.
Đánh số các lần họp mặt từ 1 đến 10, với mỗi cặp $\{i,j\}$, đúng 2 học sinh chỉ tham dự hai lần $i$ và $j$ để có $2C_{10}^2=90$ học sinh loại này, hơn nữa với mỗi lần $i$, thêm 2 học sinh chỉ tham dự lần $i$ để có thêm 20 học sinh. Ở lần $i$, có $2\cdot 9=18$ học sinh gắn với 9 cặp $\{i,j\}$ và 2 học sinh riêng, tổng cộng đúng 20 người. Hai lần bất kỳ có chung đúng hai học sinh. Vậy trường hợp 110 học sinh này thỏa mãn mọi yêu cầu.
Vậy khối 12 năm học đó có ít nhất 110 học sinh.