Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$9\left(a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a\right)+1\ge 4\left(ab+bc+ca\right).$$

Tập xác định $D$ của hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$ là

Một đa thức $P(x)$ hệ số thực được gọi là đa thức tốt nếu với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ thì ta đều có:
$$P(x)+P(y)+P(z)\ge 3P(1).$$
(1) Tìm tất cả các đa thức tốt $P(x)$ có bậc không vượt quá 2.
(2) Gọi bậc của đa thức tốt $P(x)$ là $n$. Chứng minh rằng nếu $n>2$ thì $n$ là số chẵn.

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ có bảng xét dấu như hình dưới đây. Tìm khẳng định đúng?

Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$ có bảng xét dấu như hình dưới đây. Tìm khẳng định đúng?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{x^2-2(m+1)x+4m+5}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$?

a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+2m\le 0$ có tập nghiệm nằm trong đoạn $[0;3]$.
b) Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta :(m+1)x+(m-2)y+m+4=0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta$ đạt giá trị lớn nhất.