Một đa thức $P(x)$ hệ số thực được gọi là đa thức tốt nếu với mọi số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$ thì ta đều có:
$$P(x)+P(y)+P(z)\ge 3P(1).$$
(1) Tìm tất cả các đa thức tốt $P(x)$ có bậc không vượt quá 2.
(2) Gọi bậc của đa thức tốt $P(x)$ là $n$. Chứng minh rằng nếu $n>2$ thì $n$ là số chẵn.

(1) Xét đa thức $P(x)=a{x}^2+bx+c$. Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$, ta có:
$$P(x)+P(y)+P(z)-3P(1)=a(x^2+y^2+z^2-3).$$
Nếu $a\ge 0$, khi đó ta có:
$$P(x)+P(y)+P(z)-3P(1)=a(x^2+y^2+z^2)\ge a\left[\frac{(x+y+z{)}^2}{3}-3\right]\ge 0.$$
Do đó $P(x)$ là đa thức tốt.
Ngược lại, nếu $a<0$, chọn $(x,y,z)=(3,0,0)$ thì:
$$P(x)+P(y)+P(z)-3P(1)=a(3^2+0^2+0^2-3)=-6a<0.$$
Khi đó $P(x)$ không là đa thức tốt.
Do đó $P(x)=a{x}^2+bx+c$ với $a\ge 0$ và $b,c\in \mathbb{R}$ là các đa thức tốt cần tìm.
(2) Giả sử phản chứng $n>2$ là số lẻ, xét bộ $(x,y,z)=(1+2t,1-t,1-t)$. Khi đó $x+y+z=3$ và:
$$P(1+2t)+2P(1-t)-3P(1)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}.$$
Đặt $Q(t)=P(1+2t)+2P(1-t)-3P(1)$ với $t\in \mathbb{R}$, và gọi hệ số bậc cao nhất của đa thức $P(x)$ là $a_n\ne 0$. Khi đó xét hệ số của đơn thức $t^n$ trong đa thức $Q(t)$ ta được:
$$a_n(2^n+2(-1{)}^n)=a_n(2^n-2)\ne 0.$$
Do đó đa thức $Q(t)$ có bậc đúng bằng $n$ là số lẻ, mâu thuẫn do không tồn tại đa thức bậc lẻ thỏa mãn $Q(t)\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}$. Vậy giả sử sai, ta có điều phải chứng minh.