Gọi $S$ là tập các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f$ không hằng, $f(2)\ne 1$ và
$$f(xf(y)-x+y)+f(xy)=f(2026x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
(1) Với $f\in S$, gọi $A=\{a\in \mathbb{R}\mid f(a)=1\}$. Chứng minh rằng $0\notin A$ và $2026\in A$.
(2) Chứng minh rằng $A=\{2026\}$.
(3) Tìm $S$.

Đặt $g(x)=f(x)-1$, $\forall x\in \mathbb{R}$ thì $g$ không hằng và $g(2)\ne 0$, hơn nữa
$$g(y+xg(y))+g(xy)=g(2026x)+g(y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
Đổi vai trò của $x,y$, ta được
$$g(x+yg(x))+g(xy)=g(x)+g(2026y),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
Khi đó $A=\{a\in \mathbb{R}\mid g(a)=0\}$.
(1) Cho $x=2026$, ta được $g(2026+yg(2026))=g(2026)$, $\forall y\in \mathbb{R}$.
Nếu $g(2026)\ne 0$ thì $2026+yg(2026)$ chạy trên toàn bộ $\mathbb{R}$, do đó $g$ hằng, mâu thuẫn.
Vậy $g(2026)=0$ hay $2026\in A$.
Mặt khác, nếu $g(0)=0$ thì cho $x=0$ ta được $g(2026y)=0$, $\forall y\in \mathbb{R}$, hay $g\equiv 0$, mâu thuẫn.
Vậy $g(0)\ne 0$ hay $0\notin A$.
(2) Cho $y=1$, vì $g(2026)=0$ nên $g(x+g(x))=0$, $\forall x\in \mathbb{R}$, do đó $x+g(x)\in A$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Giả sử $|A|\ge 2$, lấy $a,b\in A$ phân biệt.
Lần lượt thay $x=a$ và $x=b$, với $g(a)=g(b)=0$, ta được
$$g(ay)=g(2026y),g(by)=g(2026y),\forall y\in \mathbb{R}.$$
Suy ra $g(ax)=g(bx)=g(2026x)$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Thay $x$ bởi $\frac{x}{2026}$, ta có
$$g\left(\frac{a}{2026}x\right)=g\left(\frac{b}{2026}x\right)=g(x),\forall x\in \mathbb{R}.$$
Trong đẳng thức $g(x+yg(x))+g(xy)=g(x)+g(2026y)$, thay $x$ bởi $\frac{a}{2026}x$, ta được
$$g\left(\frac{a}{2026}x+yg(x)\right)+g(xy)=g(x)+g(2026y).$$
Kết hợp với đẳng thức ban đầu, suy ra
$$g\left(\frac{a}{2026}x+yg(x)\right)=g(x+yg(x)).$$
Tương tự cũng có $g\left(\frac{b}{2026}x+yg(x)\right)=g(x+yg(x))$ nên
$$g\left(\frac{a}{2026}x+yg(x)\right)=g\left(\frac{b}{2026}x+yg(x)\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
Vì $g(2)\ne 0$, cho $x=2$, ta được
$$g\left(yg(2)+\frac{2a}{2026}\right)=g\left(yg(2)+\frac{2b}{2026}\right),\forall y\in \mathbb{R}.$$
Vì $g(2)\ne 0$, khi $y$ chạy trên $\mathbb{R}$ thì $yg(2)+\frac{2b}{2026}$ chạy trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Do đó
$$g(t+T)=g(t),\forall t\in \mathbb{R},$$
trong đó $T=\frac{2(a-b)}{2026}\ne 0$. Như vậy $T$ là một chu kì khác 0 của $g$.
Từ đẳng thức $g(x+yg(x))+g(xy)=g(x)+g(2026y)$, thay $x$ bởi $x+T$. Vì $g(x+T)=g(x)$ nên
$$g(x+T+yg(x))+g((x+T)y)=g(x)+g(2026y).$$
Lại có $g(x+T+yg(x))=g(x+yg(x))$, nên
$$g((x+T)y)=g(xy),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$
Với $x\ne 0$, lấy $y=\frac{1}{x}$ thì $g\left(1+\frac{T}{x}\right)=g(1)$.
Vì $T\ne 0$, khi $x$ chạy trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thì $1+\frac{T}{x}$ chạy trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Do đó $g(t)=g(1)$ với mọi $t\ne 1$, và hiển nhiên điều này cũng đúng tại $t=1$ hay $g$ hằng, mâu thuẫn.
Vậy $|A|=1$, mà $2026\in A$, nên $A=\{2026\}$.
(3) Vì $x+g(x)\in A$ với mọi $x$ và $A=\{2026\}$ nên $x+g(x)=2026$, hay $g(x)=2026-x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó $f(x)=2027-x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Thử lại thấy hàm số này thỏa mãn đề bài, không hằng và $f(2)=2025\ne 1$.
Vậy $S=\{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\mid f(x)=2027-x,\forall x\in \mathbb{R}\}$.

Nhận xét: Sau khi đặt $g(x)$, bài toán trên sẽ trở thành bài toán trong đề thi Bắc Ninh TST 2026.