Tìm tất cả đa thức $P(x)$ thoả mãn $P(x^2)=x^3.P(x)$ với mọi $x$ số thực

Trước tiên, ta xét $P(x)$ đồng nhất với 0, thay vào ta được $0=0.0$ (luôn đúng)
Xét trường hợp $P(x)$ không đồng nhất với 0, đặt $\mathrm{deg}P(x)=n(n\ge 0)$

Ta xét bậc của hai vế: $\mathrm{deg}(P(x^2))=2.\mathrm{deg}P=2n$

Đặt $Q(x)=x^3$ và $\mathrm{deg}Q=m=3$, vì vậy:

deg$(x^3.P(x))=\mathrm{deg}(Q.P)=\mathrm{deg}Q+\mathrm{deg}P=3+n$

Vì vậy ta có được $2n=3+n\iff n=3$

Chính vì vậy $P(x)$ là một đa thức bậc 3, nên có dạng tổng quát: $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$
$\iff P(x^2)=a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d$
$\iff x^3.P(x)=x^3.(a{x}^3+b{x}^2+cx+d)=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$

Ta cần bằng hệ số:
So sánh các hệ số của $x^6$: $a{x}^6=a{x}^6$ (luôn đúng với mọi $a$)
So sánh các hệ số của $x^5$: $b{x}^4=b{x}^5\iff b=0$
So sánh các hệ số của $x^4$: $c{x}^2=c{x}^4\iff c=0$
So sánh các hệ số của $x^3$: $d=d{x}^3\iff d=0$

Vì vậy đa thức thoả mãn là $P(x)=a{x}^3$ (a là số thực tuỳ ý)

Thử lại $P(x^2)=a{x}^6$ và $x^3.P(x)=a{x}^6$ (đúng)

[Ghi chú sửa lỗi nguồn, do agent sửa câu hỏi: nguồn in 'Ta cần bằng hệ số' (thiếu chữ 'cân') và các đẳng thức so sánh hệ số viết dưới dạng 'bx⁴ = bx⁵ ⟺ b = 0', 'cx² = cx⁴ ⟺ c = 0', 'd = dx³ ⟺ d = 0' (trang 10) — đây là lỗi trình bày của nguồn. Lập luận đúng là: so sánh hệ số của $x^5$, $x^4$, $x^3$ trong đẳng thức $a{x}^6+b{x}^4+c{x}^2+d=a{x}^6+b{x}^5+c{x}^4+d{x}^3$: vế trái không có các lũy thừa $x^5,x^4,x^3$ nên $b=0$, $c=0$, $d=0$. Kết luận cuối cùng $P(x)=a{x}^3$ của nguồn là chính xác và được giữ nguyên.]