Cho đa thức $A(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$. Chứng minh $A(x)$ bất khả quy.

Ta có $A(x)=x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$
Ta nhân hai vế với một lượng $(x+1)\iff A(x).(x+1)=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)$ $(x\ne -1)$

Áp dụng tính chất: $(x+1)(x^n-x^{n-1}+x^{n-2}-\dots +1)=x^{n+1}+(-1{)}^n$

Từ đa thức $A(x)$ ta thấy $n=6$, suy ra ta có được: $A(x)=\frac{x^7+1}{x+1}$ $(x\ne -1)$

Ta thay $x=y-1$ vào $A(x)$ ta được: $Q(y)=A(y-1)=\frac{(y-1{)}^7+1}{y}$

Từ phân tử thức, ta khai triển nhị thức Newton:
$$\sum _{k=0}^7{C}_7^k\cdot y^{7-k}\cdot (-1{)}^k$$

Suy ra ta được: $(y-1{)}^7+1=y^7-7y^6+21y^5-35y^4+35y^3-21y^2+7y$

Từ đó ta rút $y$ cho tử mẫu, suy ra:
$Q(y)=y^6-7y^5+21y^4-35y^3+35y^2-21y+7$

Chọn số nguyên tố $p=7$, ta có các yếu tố như sau:

(1) Hệ số cao nhất là 1 không chia hết cho 7
(2) Các hệ số còn lại 7, 21, 35 đều chia hết cho 7
(3) Hệ số tự do là 7 thì chia hết cho 7, nhưng không chia hết cho bình phương của 7 là 49

Vậy tồn tại số nguyên tố là $p=7$ thỏa mãn các điều kiện trên theo tiêu chuẩn Eisenstein nên $Q(y)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$

Mà đa thức mới $Q(y)$ bất khả quy, dẫn đến đa thức gốc $A(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ (đpcm)