Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{x^2}\right)}^n$ ($x\ne 0$) biết $720\left(C_7^7+C_8^7+\cdots +C_n^7\right)=\frac{1}{4032}{A}_{n+1}^{10}$.

Áp dụng đẳng thức ${\sum }_{k=7}^n{C}_k^7=C_{n+1}^8$:
$720C_{n+1}^8=\frac{1}{4032}{A}_{n+1}^{10}⟺720\cdot \frac{(n+1)!}{8!(n-7)!}=\frac{1}{4032}\cdot \frac{(n+1)!}{(n-9)!}$.
$⟺\frac{720}{40320(n-7)(n-8)}=\frac{1}{4032}⟺\frac{1}{56(n-7)(n-8)}=\frac{1}{4032}⟺(n-7)(n-8)=72$.
Giải phương trình $n^2-15n-16=0$ với $n\ge 9$, ta được $n=16$.
Với $n=16$, khai triển ${\left(x-x^{-2}\right)}^{16}$ có số hạng tổng quát:
$T_{k+1}=C_{16}^k{x}^{16-k}(-x^{-2}{)}^k=C_{16}^k(-1{)}^k{x}^{16-3k}$.
Số hạng chứa $x^4⟺16-3k=4⟺3k=12⟺k=4$.
Hệ số của $x^4$ là: $C_{16}^4(-1{)}^4=\frac{16\times 15\times 14\times 13}{24}=1820$. Chọn D.