Xét khai triển Niutơn của biểu thức $P=(\sqrt{5}+\sqrt[4]{7}{)}^{124}$. Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

Số hạng tổng quát trong khai triển là:
$T_{k+1}=C_{124}^k(\sqrt{5}{)}^{124-k}(\sqrt[4]{7}{)}^k=C_{124}^k{5}^{\frac{124-k}{2}}{7}^{\frac{k}{4}},(0\le k\le 124,k\in \mathbb{Z}).$
Số hạng hữu tỉ khi và chỉ khi $\frac{124-k}{2}\in \mathbb{Z}$ và $\frac{k}{4}\in \mathbb{Z}$.
Điều này tương đương với $k$ chia hết cho 4, tức là $k=4m$ với $m\in \mathbb{Z}$.
Vì $0\le k\le 124⟹0\le 4m\le 124⟺0\le m\le 31$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $31-0+1=32$.
Vậy có 32 số hạng hữu tỉ trong khai triển.