Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ u_{n+1}=2u_n+1,\forall n\ge 1\end{array}$. Số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để $u_n>1000$ là:

Ta có $u_{n+1}+1=2(u_n+1)$. Đặt $v_n=u_n+1$, ta được $v_{n+1}=2v_n$.
$(v_n)$ là cấp số nhân có $v_1=u_1+1=2$ và công bội $q=2$.
Do đó $v_n=2\cdot 2^{n-1}=2^n⟹u_n=2^n-1$.
Để $u_n>1000⟺2^n-1>1000⟺2^n>1001$.
Vì $2^9=512<1001$ và $2^{10}=1024>1001$ nên số nguyên dương $n$ nhỏ nhất là $n=10$. Chọn D.