Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, cạnh $AB=a$ và cạnh $AC=a\sqrt{5}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABC)$ và $SA=2a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$
b) Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(SBC)$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$. $SA\perp (ABCD)$, $SA=a$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$. Góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp có số đo bằng $60^0$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

b. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin \alpha$.

c. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $S$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật tâm $O$ và $AB=2a,AD=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của $OA$ và $SH=\frac{3a}{2}$.

a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=a^3$.

b) Hình chiếu vuông góc của tam giác $SCH$ trên mặt phẳng $(SBC)$ là tam giác $SCI$, với $I$ là hình chiếu của $H$ trên $BC$

c) Số đo góc phẳng nhị diện $[S,BC,A]$ là $45^{\circ }$

d) Khoảng cách từ điểm $C$ đến $mp(SAD)$ là $\frac{3\sqrt{10}}{20}a$

Một nhóm bạn đi Picnic muốn cắm trại qua đêm. Biết trại cắm là một hình chóp tam giác đỉnh $S$ cách đều các chân trại $A,B,C$ một đoạn bằng $3m$. Biết đáy trại là một tam giác vuông tại $A$ và $AB=2m$. Nhóm muốn cắm trại sao cho thể tích của trại là lớn nhất cho không gian thoải mái. Khi đó độ dài $AC$ bằng bao nhiêu?

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$; $AB=4\text{ cm};BC=6\text{ cm}$; đường thẳng $A{A}^{\prime }$ hợp với đáy một góc $60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $AB{B}^{\prime }$ là tam giác vuông tại $A$, tam giác $B^{\prime }BC$ là tam giác cân tại $B^{\prime }$. Thể tích của khối tứ diện $AB{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng bao nhiêu centimét khối?