Chứng minh rằng, không tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số thực, khác đa thức hằng và thỏa mãn $P\left(x^2-2\right)={\left(P(x)\right)}^2$ với mọi số thực $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: tồn tại đa thức P(x) hệ số thực, khác hằng, bậc n ≥ 1, thỏa P(x²−2) = (P(x))² với mọi x thực. So sánh hệ số cao nhất: hệ số của x^{2n} trong P(x²−2) là a (a là hệ số của x^n trong P), trong (P(x))² là a², nên a = a², tức a = 1. Bước mấu chốt: đặt x = 2cosθ. Khi đó x² − 2 = 4cos²θ − 2 = 2cos2θ. Từ đó, quy nạp: P(2cos(2^k θ)) = (P(2cosθ))^{2^k} với mọi k ≥ 0 (vì P(2cos(2^{k+1}θ)) = (P(2cos(2^kθ)))²). Chọn θ sao cho θ/(2π) vô tỉ; khi đó dãy 2^kθ (mod 2π) trù mật trên [0, 2π], nên tập {2cos(2^kθ)} trù mật trên [−2, 2]. Xét t = P(2cosθ): (i) Nếu |t| > 1 thì vế phải (t)^{2^k} → +∞, trong khi vế trái P(2cos(2^kθ)) bị chặn (P liên tục trên đoạn [−2,2]) — mâu thuẫn. (ii) Nếu 0 < |t| < 1 thì (t)^{2^k} → 0, tức P(2cos(2^kθ)) → 0; do tính trù mật và P liên tục, mọi giá trị của P trên [−2,2] đều bằng 0, nên P ≡ 0 trên [−2,2], suyra P là đa thức hằng — mâu thuẫn. (iii) Nếu |t| = 1 với mọi θ: hàm θ ↦ P(2cosθ) liên tục trên [0, π] và chỉ nhận giá trị ±1, nên nó không đổi (liên tục trên tập liên thông), tức P ≡ 1 hoặc P ≡ −1 trên [−2,2], suyra P hằng — mâu thuẫn. (iv) Nếu t = 0: tương tự trường hợp (ii) với mọi θ, P ≡ 0 trên [−2,2], P hằng — mâu thuẫn. Vậy trong mọi trường hợp P phải là đa thức hằng, trái với giả thiết. Kết luận: không tồn tại đa thức P(x) với hệ số thực, khác đa thức hằng, thỏa mãn P(x²−2) = (P(x))² với mọi số thực x. Đpcm.