Bạn An tô màu các số tự nhiên, mỗi số được tô bởi đúng một trong ba màu xanh, đỏ, vàng và thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i) Ba số liên tiếp bất kì có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng;

ii) Tồn tại một số tô màu xanh và một số tô màu vàng có tổng bằng 2026.

Hỏi số 2027 được tô màu gì? Giải thích.

Cho số nguyên $n\ge 2$ và một bảng vuông kích thước $3n\times 3n$ (gồm $9n^2$ ô vuông đơn vị). Một quân cờ $T$ được đặt ở một ô nào đó trên bảng và di chuyển như sau: mỗi bước đi quân cờ $T$ hoặc di chuyển lên trên một ô, hoặc sang phải một ô hoặc đi chéo xuống-sang trái một ô (như hình minh họa bên dưới, mỗi bước đi thực chất chỉ di chuyển sang một ô chung đỉnh). Xuất phát từ ô đó, quân cờ $T$ thực hiện một số bước đi và không bao giờ đi qua một ô hai lần, rồi quay trở lại ô xuất phát. Xác định số bước đi lớn nhất có thể mà quân cờ $T$ đã thực hiện.

Câu 7 (7 điểm). Trong một trò chơi, nhân vật Mario cần di chuyển về phía trước bằng các lần nhảy xa với độ dài mỗi lần là 1 mét hoặc $a$ mét hoặc $b$ mét, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1<a<b$. Cho trước một chặng đường cần di chuyển có độ dài là $m$ mét, với $m$ là một số nguyên dương, Mario luôn sử dụng chiến thuật nhảy về phía trước như sau: trước tiên Mario sẽ thực hiện các lần nhảy với độ dài mỗi lần $b$ mét (với số lần tối đa có thể sao cho chưa vượt quá đích); nếu vẫn chưa tới đích, Mario sẽ thực hiện tiếp các lần nhảy với độ dài mỗi lần $a$ mét (với số lần nhảy tối đa sao cho chưa vượt quá đích), rồi cuối cùng là chuyển sang các lần nhảy với mỗi bước nhảy là 1 mét. Mario sẽ thắng nếu không tồn tại cách di chuyển nào đến đích có số lần nhảy ít hơn so với chiến thuật trên. Trong trường hợp ngược lại, Mario sẽ thua.
a) Hãy chỉ ra rằng với $(a,b)=(6,14)$, tồn tại một số $m$ để Mario thua trong trò chơi này.
b) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1<a<b\le 100$, để Mario luôn thắng theo chiến thuật trên với mọi số nguyên dương $m$.

Câu 6 (7,0 điểm)
Xét $n$ – giác đều $P$, tại mỗi đỉnh của $P$, ta ghi một trong hai số $1$ hoặc $-1$. Xét phép biến đổi $T$: Chọn một đa giác đều (có đỉnh là đỉnh của $P$, tâm trùng với tâm của $P$) hoặc một đoạn thẳng (có hai đầu mút là hai đỉnh của $P$, trung điểm là tâm của $P$), sau đó tiến hành đổi dấu cho các số ghi tại mỗi đỉnh của đa giác hoặc hai đầu mút của đoạn thẳng được chọn, nghĩa là số $1$ đổi thành số $-1$ và ngược lại.
Chứng minh rằng, tồn tại một cách ghi số ban đầu cho các đỉnh của $P$ để sao cho sau hữu hạn lần dùng phép biến đổi $T$ liên tiếp ta không thể thu được trạng thái mà tại tất cả các đỉnh của $P$ đều là số $1$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Khi $n=6$.
b) Khi $n=30$.

Bài 2 (7,0 điểm). Trên bàn cờ kích thước $2026\times 2026$ được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước $3\times 2$ hoặc $2\times 3$ của bàn cờ.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.

Trên bảng có viết dãy các số $0,1,2,\dots ,n$ với $n$ là một số nguyên dương lẻ. An và Bình cùng chơi một trò chơi bằng cách thay phiên nhau xoá các số có trên bảng. An là người đi trước. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là tổng của các số mà An và Bình đã xoá.

a) Giả sử $n=7$. Hỏi An có bao nhiêu cách xoá để $\gcd (A,B)=1$?

b) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ lẻ sao cho An luôn có thể chọn các số để xoá thỏa mãn $\gcd (A,B)$ chẵn bất kể cách xoá số của Bình.

c) Với $n=81$, An thực hiện thao tác xoá các số sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ lớn nhất còn Bình thực hiện thao tác xoá sao cho giá trị của $\gcd (A,B)$ nhỏ nhất. Hỏi giá trị cuối cùng của $\gcd (A,B)$ là bao nhiêu nếu An và Bình đều thực hiện các thao tác xoá tối ưu?