Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: "Với mọi ước nguyên dương $d$ của $n$, số $d^2+1$ hoặc là một số nguyên tố, hoặc là một ước của $n$".

Số 2025 có tất cả bao nhiêu ước nguyên dương?

Bài 6. (7 điểm)
Với số nguyên dương $n$, ký hiệu $\tau (n)$ là số các ước số nguyên dương của $n$ (kể cả 1 và $n$).

a) Chứng minh rằng phương trình $\tau (n)=2025$ có vô số nghiệm.

b) Hãy tìm tất cả số nguyên dương $k$ sao cho $\tau \left(n^2\right)=k\tau (n)$, với $n$ nguyên dương nào đó.

Với $k$ là một số nguyên dương ta kí hiệu $\delta (k)$ là tổng tất cả các ước nguyên dương của $k$. Chứng minh rằng:
a) $\frac{\delta \left(p^{2025}\right)-1}{p^{2025}-1}=\frac{\delta \left(p^{1945}\right)-1}{p^{1945}-1}$, với mọi số nguyên tố $p$;
b) $\delta (mn)\ge n\delta (m)+\delta (n)-n$, với mọi $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.