Thi Chọn Học Sinh Giỏi Cấp Tỉnh Lớp 12 2026-2027 - Môn Toán

a. Khi bệnh nhân sử dụng một lượng $x$ centimet khối của một loại thuốc $Y$, huyết áp tăng thêm của người này được mô hình hóa bởi hàm số $B(x)=305\left(x^2-6x^3\right)$ với $0\le x\le 0,16$. Xác định lượng thuốc $Y$ mà bệnh nhân sử dụng để huyết áp tăng thêm đạt giá trị lớn nhất.

b. Giải phương trình ${\cos }^{2}x\cdot {\sin }^{4}x+\cos 2x=2\cos x(\sin x+\cos x)-1$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}& \text{khi }-1\le x<0\\ -2+\frac{1-x}{1+x}& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Tính $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.

Một hộp có chứa 100 tấm thẻ, các tấm thẻ có cùng khối lượng, kích thước và màu sắc. Trên mỗi tấm thẻ có ghi một số tự nhiên từ 1 đến 100 sao cho không có hai tấm thẻ nào ghi cùng một số tự nhiên. Bạn An lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra 3 tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

a. A: “Tổng ba số tự nhiên ghi trên 3 tấm thẻ là một số chẵn”.

b. B: “Ba số tự nhiên ghi trên 3 tấm thẻ lập thành một cấp số cộng”.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Biết rằng tam giác $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$.

a. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCD$.

b. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SBC)$. Tính $\sin \alpha$.

c. Mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với mặt phẳng $(SCD)$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần. Tính thể tích phần chứa đỉnh $S$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có tính chất: "Với mọi ước nguyên dương $d$ của $n$, số $d^2+1$ hoặc là một số nguyên tố, hoặc là một ước của $n$".

Chứng minh rằng, không tồn tại đa thức $P(x)$ với hệ số thực, khác đa thức hằng và thỏa mãn $P\left(x^2-2\right)={\left(P(x)\right)}^2$ với mọi số thực $x$.

Bạn An tô màu các số tự nhiên, mỗi số được tô bởi đúng một trong ba màu xanh, đỏ, vàng và thỏa mãn các điều kiện sau đây:

i) Ba số liên tiếp bất kì có đủ cả ba màu xanh, đỏ, vàng;

ii) Tồn tại một số tô màu xanh và một số tô màu vàng có tổng bằng 2026.

Hỏi số 2027 được tô màu gì? Giải thích.