Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}& \text{khi }-1\le x<0\\ -2+\frac{1-x}{1+x}& \text{khi }x\ge 0\end{array}$. Tính $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hai giới hạn một bên tại $x=0$.

**Giới hạn trái:** với $-1\le x<0$, $f(x)=\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}$. Nhân với liên hợp $\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$:
$$\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{x}=\frac{(1-x)-(1+x)}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\frac{-2x}{x\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)}=\frac{-2}{\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}}.$$
Suy ra $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\frac{-2}{1+1}=-1$.

**Giới hạn phải:** với $x\ge 0$, $f(x)=-2+\frac{1-x}{1+x}$, nên $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-2+\frac{1}{1}=-1$.

Vì hai giới hạn một bên bằng nhau: $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-1$, kết luận $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=-1$.