Câu 7 (7 điểm). Trong một trò chơi, nhân vật Mario cần di chuyển về phía trước bằng các lần nhảy xa với độ dài mỗi lần là 1 mét hoặc $a$ mét hoặc $b$ mét, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $1<a<b$. Cho trước một chặng đường cần di chuyển có độ dài là $m$ mét, với $m$ là một số nguyên dương, Mario luôn sử dụng chiến thuật nhảy về phía trước như sau: trước tiên Mario sẽ thực hiện các lần nhảy với độ dài mỗi lần $b$ mét (với số lần tối đa có thể sao cho chưa vượt quá đích); nếu vẫn chưa tới đích, Mario sẽ thực hiện tiếp các lần nhảy với độ dài mỗi lần $a$ mét (với số lần nhảy tối đa sao cho chưa vượt quá đích), rồi cuối cùng là chuyển sang các lần nhảy với mỗi bước nhảy là 1 mét. Mario sẽ thắng nếu không tồn tại cách di chuyển nào đến đích có số lần nhảy ít hơn so với chiến thuật trên. Trong trường hợp ngược lại, Mario sẽ thua.
a) Hãy chỉ ra rằng với $(a,b)=(6,14)$, tồn tại một số $m$ để Mario thua trong trò chơi này.
b) Tìm số lượng tất cả các cặp $(a,b)$, với $1<a<b\le 100$, để Mario luôn thắng theo chiến thuật trên với mọi số nguyên dương $m$.

a) Chọn $m=18$. Khi đó Mario sẽ nhảy xa được đúng một lần với độ dài $b=14$ (mét). Cần phải di chuyển thêm $18-14=4$ (mét), không đủ cho một lần nhảy với độ dài $a=6$ (mét), nên Mario cần phải nhảy thêm 4 lần, mỗi lần với độ dài 1 mét. Vì vậy Mario phải nhảy đúng 5 lần.
Trong khi đó, có cách khác chỉ sau 3 lần nhảy, mỗi lần với độ dài 6 mét để đến đích với khoảng cách 18 mét, và do đó Mario sẽ thua.

b) Ta gọi một cặp $(a,b)$ là Tốt, nếu Mario luôn thắng với mọi số nguyên dương $m$. Trong trường hợp ngược lại, tức là nếu tồn tại một số nguyên dương $m$ sao cho Mario thua, thì ta nói $(a,b)$ là Không tốt.
Bổ đề. Cặp $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $n\ge 2$ sao cho
$$(n-1)a<b\le n(a-1).$$
Chứng minh bổ đề.
Điều kiện đủ. Giả sử $(n-1)a<b\le n(a-1)$. Rõ ràng khi đó $a>n$. Cho $m=na$, khi đó Mario sẽ nhảy một lần với độ dài $b$ mét. Khoảng cách còn lại cần phải di chuyển là $na-b\in [n;a)$, nên Mario sẽ phải nhảy thêm ít nhất $n$ lần, mỗi lần 1 mét. Tổng cộng Mario phải nhảy ít nhất $n+1$ lần. Tuy nhiên có cách khác đến đích với $n$ lần nhảy, mỗi lần $a$ mét, do đó Mario sẽ thua.
Điều kiện cần. Giả sử $(a,b)$ là một cặp không tốt, do đó có cách nhảy đến đích với số lần nhảy ít hơn cách của Mario. Gọi số lần nhảy tương ứng $(b,a,1)$ mét của Mario là $(x_1,y_1,z_1)$, $x_1\ge 0$, $y_1\ge 0$, $z_1\ge 0$. Suy ra tồn tại một bộ $(x_2,y_2,z_2)$ khác gồm các số nguyên không âm thỏa mãn
$$\{\begin{array}{l}{x}_{1}b+y_{1}a+z_1=x_{2}b+y_{2}a+z_2\\ x_1+y_1+z_1>x_2+y_2+z_2\\ x_1\ge x_2\end{array}$$
Từ các hệ thức trên suy ra $(x_1-x_2)b+(y_1-y_2)a=z_2-z_1<(x_1-x_2)+(y_1-y_2)$.
Do đó $(y_1-y_2)(1-a)>(x_1-x_2)(b-1)\ge 0$. Vì $a>1$ suy ra $y_1<y_2$.
Ngoài ra không thể xảy ra trường hợp $x_1=x_2$, vì khi đó ta phải có đánh giá $z_1-z_2=(y_2-y_1)a>a$, dẫn tới $z_1>a$: mâu thuẫn với cách chơi của Mario.
Vì vậy ta có hệ thức $(x_1-x_2)b+(z_1-z_2)=(y_2-y_1)a$.
Đặt $t=x_1-x_2\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $u=y_2-y_1\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $v=z_1-z_2\in \mathbb{Z}$. Suy ra $\{\begin{array}{l}tb+v=ua\\ t+v>u\end{array}$
Theo cách nhảy xa của Mario, ta có $v=z_1-z_2\le z_1<a$. Do đó
$$ua-a<ua-v=tb<ua+t-u,$$
dẫn tới $(u-1)a<tb<u(a-1)+t$. Chia cả hai vế cho $t>0$ ta nhận được
$$\frac{u-1}{t}a<b<\frac{u}{t}(a-1)+1.$$
Đặt $\lfloor \frac{u}{t}\rfloor =n\in {\mathbb{Z}}^{+}$, suy ra $(n-1)<\frac{u-1}{t}$ và $\frac{u}{t}\le n$. Do $b$ là số nguyên dương, ta suy ra $(n-1)a<b\le n(a-1)$. Do $n\ge \frac{b}{a-1}>1$ nên $n\ge 2$. Bổ đề được chứng minh.
Bây giờ, với mỗi $b\ge 3$ cố định, ta đếm số cặp $(a,b)$ tốt. Từ Bổ đề trên ta thấy rằng $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi tồn tại số nguyên $n\ge 2$ sao cho $\frac{b}{n}+1\le a<\frac{b}{n-1}$.
Vì $(n-1)a<n(a-1)$ suy ra $n<a$. Từ đó với $(a,b)$ là không tốt, phải có $n(n-1)<b$.
Gọi $l$ là số nguyên dương sao cho $l(l-1)<b\le l(l+1)$. Khi đó $2\le n\le l$. Vậy cặp $(a,b)$ là không tốt khi và chỉ khi $2\le a<b$ và $a\in S$, ở đó tập $S$ là hợp của $(l-1)$ khoảng đôi một không giao nhau sau đây:
$$S=\left[\frac{b}{l}+1;\frac{b}{l-1}\right)\cup \left[\frac{b}{l-1}+1;\frac{b}{l-2}\right)\cup \cdots \cup \left[\frac{b}{3}+1;\frac{b}{2}\right)\cup \left[\frac{b}{2}+1;b\right),$$
Do đó cặp $(a,b)$ là tốt khi và chỉ khi $1<a<b$ và $a\notin S$. Dễ thấy với mọi $k$, $3\le k\le l$, có duy nhất một số nguyên dương $a=\lfloor \frac{b}{k-1}\rfloor$ nằm giữa hai khoảng liên tiếp $\left[\frac{b}{k-1}+1;\frac{b}{k-2}\right)$, $\left[\frac{b}{k}+1;\frac{b}{k-1}\right)$ và không thuộc hai khoảng này.
Tổng cộng có $(l-2)$ số $a$ như vậy. Ngoài ra, có $\lfloor \frac{b}{l}\rfloor -1$ số $a$ thỏa mãn $1<a<\frac{b}{l}+1$. Với một số $b\le 100$ cố định, có $\lfloor \frac{b}{l}\rfloor -1+(l-2)=\lfloor \frac{b}{l}\rfloor +(l-3)=:K(b)$ cặp $(a,b)$ tốt.
Nhận thấy $K(b)=\{\begin{array}{ll}l+l-3=2l-3,& l(l-1)<b\le l^2\\ l+1+l-3=2l-2,& l^2<b\le l(l+1)\end{array}$. Suy ra $K(b)=\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3$.
Do đó số cặp tốt với $1<a<b\le 100$ là $T={\sum }_{b=3}^{100}\left(\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3\right)$.
Nhận xét rằng với $91\le b\le 100$, $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =20$. Do đó
$$T=(20-3)\cdot 10+\sum _{b=3}^{90}\left(\lceil 2\sqrt{b}\rceil -3\right).$$
Đặt $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =c$, suy ra $4\le c\le 19$. Với mỗi số $c$ cố định, ta có $\lceil 2\sqrt{b}\rceil =c$ tương đương với $c-1<2\sqrt{b}\le c\iff \frac{(c-1{)}^2}{4}<b\le \frac{c^2}{4}$. (*)
Bằng cách xét tính chẵn lẻ của $c$, ta thấy có tất cả $\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$ số $b$ thỏa mãn (*) với mỗi số $c$ cố định. Vì vậy, nếu đặt $d=\lfloor \frac{c}{2}\rfloor$, ta có
$$T=170+\sum _{c=4}^{19}(c-3)\lfloor \frac{c}{2}\rfloor =170+\sum _{d=2}^9(2d-3)d+\sum _{d=2}^9(2d-2)d$$
$$=170+\sum _{d=2}^9(4d-5)d=170+4\sum _{d=2}^9{d}^2-5\sum _{d=2}^{9}d=170+4\sum _{d=1}^9{d}^2-5\sum _{d=1}^{9}d-4+5$$
$$=171+4\cdot \frac{9\cdot 10\cdot 19}{6}-5\cdot \frac{9\cdot 10}{2}=171+1140-225=1086.$$
Đáp số: 1086 cặp.