Bài 2 (7,0 điểm). Trên bàn cờ kích thước $2026\times 2026$ được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước $3\times 2$ hoặc $2\times 3$ của bàn cờ.
a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát.
b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.

(AI giải đề cho tôi)
**Bài 2.** Đánh số các ô bởi tọa độ nguyên $(x,y)$, $1\le x,y\le 2026$; ô xuất phát là $A=(x_0,y_0)$.

**a)** Mỗi bước của quân mã đổi tọa độ điệu bộ $(\pm 1,\pm 2)$ hoặc $(\pm 2,\pm 1)$, do đó tổng $x+y$ thay đổi một lượng $\pm 1\pm 2$ hoặc $\pm 2\pm 1$, luôn là số **lẻ**. Vậy sau mỗi bước tính chẵn lẻ của $x+y$ đảo dấu; sau 2025 bước (số lẻ) thì ô kết thúc có tính chẵn lẻ của $x+y$ **khác** với ô xuất phát.

Các ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát là 8 ô kề chéo, tức các ô $(x_0\pm 1,y_0\pm 1)$. Với mỗi ô như vậy ta có
$$(x+y)-(x_0+y_0)=(\pm 1)+(\pm 1)\in \{-2,0,2\},$$
luôn chẵn, tức các ô này có cùng tính chẵn lẻ của $x+y$ với ô xuất phát.

Điều này mâu thuẫn với kết luận trên. Vậy quân mã không thể sau 2025 bước dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô xuất phát. (Điều kiện các ô phân biệt không cần dùng đến.)

**b)** Mỗi bước đi sang phải và lên trên nên quân mã chỉ có thể nhảy theo hai kiểu vector: $(1,2)$ hoặc $(2,1)$. Gọi $a$ là số bước kiểu $(1,2)$, $b$ là số bước kiểu $(2,1)$. Từ ô góc dưới trái $(1,1)$ đến ô góc trên phải $(2026,2026)$ phải có tổng dịch chuyển $(2025,2025)$:
$$a+2b=2025,2a+b=2025.$$
Trừ hai phương trình suy ra $a=b$, suy ra $3a=2025\Rightarrow a=b=675$. Tổng số bước là $675+675=1350$.

Mỗi đường đi tương ứng với một cách sắp xếp 675 bước kiểu $(1,2)$ và 675 bước kiểu $(2,1)$ trong 1350 bước, và ngược lại mọi cách sắp xếp như vậy đều cho một đường đi hợp lệ: vì theo trình tự các bước, cả hai tọa độ không giảm và tổng mỗi tọa độ đúng bằng 2025, nên mọi ô trung gian đều nằm trong bàn cờ (tọa độ mỗi tọa độ nằm trong $[1,2026]$).

Vậy số cách nhảy là
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1350}{675}\right)=\frac{1350!}{675!675!}.$$