Bài 1 (6,0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(T)$ thay đổi đi qua $B,C$ cắt hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại điểm thứ hai là $D,E$. Gọi $I$ là giao điểm của $BE$ và $CD$, $F$ là giao điểm của $DE$ và $BC$, $K$ là giao điểm thứ hai của $AF$ và $(O)$, $J$ là trung điểm $AF$. Đường thẳng $IJ$ cắt $(T)$ tại $M,N$ ($M$ nằm giữa $J$ và $N$). Tiếp tuyến của $(T)$ tại $N$ cắt $AF$ tại $S$.
a) Chứng minh rằng đường tròn $(SKI)$ đi qua trung điểm của $MN$.
b) Gọi $(\omega )$ là đường tròn đi qua $F,M$ và tiếp xúc với $(T)$. Chứng minh rằng $(\omega )$ luôn đi qua một điểm cố định khi $(T)$ thay đổi.