Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $AC$, $AB$ và $BC$ tương ứng tại $E$, $F$ và $D$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ tiếp xúc với $(I)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KEC$ cắt lại $BC$ tại $Q$ khác $C$. Chứng minh:
a) $KD$ là phân giác góc $BKC$.
b) $FQ$ song song $BI$.

————- HẾT ————-

Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với các điểm cách nó hai điểm trên đường tròn để tạo ra các ngôi sao như hình vẽ dưới đây. Số đo (đơn vị độ) của góc ở đỉnh của ngôi sao khi $n=94$ bằng

Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $\omega$ đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và cắt $AC$, $BC$, $(O)$ tương ứng tại $P$, $Q$, $K$ ($K$ khác $C$). Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CP$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b) Ba đường thẳng $BC$, $AK$, $MN$ đồng quy.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$; $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$, $OX$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$, $YI$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $D$ qua $YQ$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $Q$ thẳng hàng.

b) Gọi $T$ là hình chiếu của $E$ lên $FD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AP$, $BT$ và $OI$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cần nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy.

b) Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.

Câu 4 (4,00 điểm).
1) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $BC$ cố định, $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$, $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$, $AC$ lần lượt cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $E$, $F$. Đoạn thẳng $BF$, $CE$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $L$.
a) Chứng minh rằng $FB\parallel EC$ và $FK\cdot EC=FB\cdot EL$.
b) Gọi $X$ là giao điểm của $BL$ và $CK$. Chứng minh $AX$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.
2) Cho tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$, đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Câu 4 (7,0 điểm). Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$ sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB<AC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại điểm $A^{\prime }$ khác $A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt đoạn $AH$ tại $I$.
a) Gọi $M$ là giao của $IE$ và $A^{\prime }B$, $N$ là giao của $IF$ và $A^{\prime }C$. Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $OH$.
b) Gọi $K$ là điểm đối xứng với $O$ qua $BC$ và $T$ là giao điểm của $KH$ và $EF$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $A$ song song với $DT$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ thay đổi.