Một cổ vật là một chiếc đĩa hình tròn khi được các nhà khảo cổ tìm được thì chỉ còn lại một mảnh vỡ nhỏ như hình 6:



Gọi $A,B$ là hai đầu của cung tròn trên mảnh vỡ và $C$ là trung điểm của cung $AB$. Khi đó các nhà khảo cổ đo được dây cung $AB=12cm$ và khoảng cách từ điểm $C$ đến dây $AB$ là $4cm$. Tính bán kính của cổ vật hình đĩa trên.

Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. $C$ là điểm trên nửa đường tròn sao cho $CA<CB$. Tiếp tuyến $Ax$ của $(O)$ cắt $BC$ tại $M$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $N$. Gọi $F$ là giao điểm của $AN$ và $BM$, $D$ là giao điểm thứ hai của $AN$ và $(O)$. Đường thẳng $d$ đi qua $M$, song song với $AB$, cắt $OC$ tại $I$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $N$, song song với $AB$, cắt $OD$ tại $J$. Gọi $E$ là giao điểm của $MN$ và $OF$.

a) Chứng minh rằng $MD$ là tiếp tuyến của $(O)$ và ba điểm $I,J,E$ thẳng hàng.

b) Chứng minh rằng $C,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.

Câu 3 (6,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ với $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $AC$, $AB$ và $BC$ tương ứng tại $E$, $F$ và $D$. Một đường tròn đi qua $B$ và $C$ tiếp xúc với $(I)$ tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $KEC$ cắt lại $BC$ tại $Q$ khác $C$. Chứng minh:
a) $KD$ là phân giác góc $BKC$.
b) $FQ$ song song $BI$.

————- HẾT ————-

Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với các điểm cách nó hai điểm trên đường tròn để tạo ra các ngôi sao như hình vẽ dưới đây. Số đo (đơn vị độ) của góc ở đỉnh của ngôi sao khi $n=94$ bằng

Câu 3 (5,0 điểm): Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I)$. Đường tròn $\omega$ đi qua $C$ tiếp xúc với $AI$ tại $I$ và cắt $AC$, $BC$, $(O)$ tương ứng tại $P$, $Q$, $K$ ($K$ khác $C$). Gọi $M$, $N$ tương ứng là trung điểm của hai đoạn thẳng $AB$ và $CP$. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng $NQ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(I)$.

b) Ba đường thẳng $BC$, $AK$, $MN$ đồng quy.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$; $D$, $E$, $F$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Gọi $X$ là giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$, $OX$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Y$, $YI$ cắt $BC$ tại $P$ và cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $Q$. Gọi $K$ là điểm đối xứng với $D$ qua $YQ$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $A$, $K$, $Q$ thẳng hàng.

b) Gọi $T$ là hình chiếu của $E$ lên $FD$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $AP$, $BT$ và $OI$ đồng quy.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cần nội tiếp trong đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $BC$ và $S$ là giao điểm của tia $MH$ với đường tròn $(O)$.

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $AS,EF,BC$ đồng quy.

b) Gọi $K$ là một điểm trên đường thẳng $HM$ sao cho $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HKD$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $A$ bán kính $AK$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KBC$.