Tính bán kính của đường tròn $(C)$ có tâm $I(1,2)$ và tiếp xúc với đường thẳng $(d):3x-4y-1=0$.

Trong môn ném tạ, trước khi thả tay, vận động viên quay người để tạo đà. Giả sử quỹ đạo chuyển động của quả tạ trước khi được ném nằm trên một đường tròn tâm $I\left(1;\frac{1}{2}\right)$ bán kính $R=\sqrt{2}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tại điểm $M\left(2;\frac{3}{2}\right)$, quả tạ được ném đi. Trong những giây đầu tiên ngay sau khi rời tay vận động viên, quỹ đạo chuyển động của quả tạ được xem như một đường thẳng có phương trình dạng $x+by+c=0$. Biết đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M$. Tính $3b+c$.

Trong môn ném tạ, trước khi thả tay, vận động viên quay người để tạo đà. Giả sử quỹ đạo chuyển động của quả tạ trước khi được ném nằm trên một đường tròn tâm $I\left(1;-\frac{1}{2}\right)$ bán kính $R=\sqrt{2}$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tại điểm $M\left(2;\frac{1}{2}\right)$, quả tạ được ném đi. Trong những giây đầu tiên ngay sau khi rời tay vận động viên, quỹ đạo chuyển động của quả tạ được xem như một đường thẳng có phương trình dạng $ax+y+c=0$. Biết đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $M$. Tính $3a+c$.

(0,5 điểm) Kiến trúc sư thiết kế một khu vườn hình tam giác $ABC$ trên bản vẽ (được gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 mét thực tế). Bên trong khu vườn, một hồ nước hình tròn có tâm $I$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và thỏa mãn $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GI}$. Trong đó, xác định các vị trí như sau:
+ Máy bơm nước được đặt tại trực tâm $H(7;8)$ của tam giác $ABC$.
+ Bức tượng đá được đặt tại trọng tâm $G(3;4)$ của tam giác $ABC$.
Bên cạnh đó, một lối đi lát đá đang được thi công có dạng là đường thẳng $\Delta$ có phương trình $3x-4y+20=0$ tiếp xúc với đường tròn. Tính bán kính của hồ nước.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, phương trình tiếp tuyến với đường tròn $(C):x^2+y^2=4$ tại điểm $M(2;0)$ là:

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hai điểm $A(2;1);B(-4;3)$, đường thẳng $d:3x+4y-7=0$ và đường thẳng $\Delta :x-3y+3=0$.

Cho đường tròn $(C):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=25$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta :3x+4y+1=0$ tại $A(1;-1)$. Tính $\frac{a}{b}$ biết rằng giá trị của $a<0$.