Câu 2. (5,00 điểm) Cho hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{Z}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
i) $f(p)=1$, với mọi $p$ nguyên tố;
ii) $f(xy)=yf(x)+xf(y),\forall x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Tìm số tự nhiên $n$ nhỏ nhất sao cho $n\ge 2026$ và $f(n)=n$.

Trong đẳng thức (ii), chọn $x=y=1$, ta thu được:

$$f(1)=1\cdot f(1)+1\cdot f(1)=2f(1)⟹f(1)=0$$

Với mọi $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, chia cả hai vế của (ii) cho $xy$, ta có:

$$\frac{f(xy)}{xy}=\frac{f(x)}{x}+\frac{f(y)}{y}$$

Xét hàm số $g:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{Q}$ xác định bởi $g(n)=\frac{f(n)}{n}$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Ta thu được:

$$g(xy)=g(x)+g(y),\forall x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }(\ast )$$

Từ điều kiện (i), với mọi số nguyên tố $p$, ta có:

$$g(p)=\frac{f(p)}{p}=\frac{1}{p}$$

Giả sử số nguyên dương $n>1$ có dạng phân tích tiêu chuẩn ra thừa số nguyên tố là:

$$n=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$$

trong đó $k\ge 1$, các số nguyên tố $p_1<p_2<\cdots <p_k$ và các số mũ ${\alpha }_i\in {\mathbb{N}}^{\ast },\forall i=\overline{1,n}$. Từ (*) ta suy ra:

$$g(n)=\sum _{i=1}^k{\alpha }_{i}g(p_i)=\sum _{i=1}^k\frac{{\alpha }_i}{p_i}$$

Do đó, biểu thức của $f(n)$ là:

$$f(n)=n\cdot g(n)=n\sum _{i=1}^k\frac{{\alpha }_i}{p_i}$$

Vì $n\ge 2026>0$, điều kiện $f(n)=n$ tương đương với:

$$g(n)=1⟺\sum _{i=1}^k\frac{{\alpha }_i}{p_i}=1(\ast )$$

Ta xét các trường hợp sau

Trường hợp 1: $k\ge 2$.

Quy đồng mẫu số đẳng thức (*) bằng cách nhân cả hai vế với tích $P={\prod }_{j=1}^k{p}_j$:

$$\prod _{j=1}^k{p}_j=\sum _{i=1}^k\left({\alpha }_i\prod _{j\ne i}{p}_j\right)$$

Xét một chỉ số $m\in \{1,2,\dots ,k\}$ bất kỳ. Ta xét đồng dư modulo $p_m$:

$$\prod _{j=1}^k{p}_j\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_m)$$

Ở vế phải, với mọi $i\ne m$, tích ${\prod }_{j\ne i}{p}_j$ luôn chứa thừa số $p_m$, dẫn tới:

$${\alpha }_i\prod _{j\ne i}{p}_j\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_m),\forall i\ne m$$

Do đó, số hạng ứng với $i=m$ phải thỏa mãn:

$${\alpha }_m\prod _{j\ne m}{p}_j\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_m)⟹p_m\mid \left({\alpha }_m\prod _{j\ne m}{p}_j\right)$$

Vì các số nguyên tố đôi một phân biệt nên $\gcd \left(p_m,{\prod }_{j\ne m}{p}_j\right)=1$. Suy ra:

$$p_m\mid {\alpha }_m$$

Do ${\alpha }_m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có ${\alpha }_m\ge p_m$. Đánh giá này đúng với mọi $m\in \{1,2,\dots ,k\}$, kéo theo:

$$1=\sum _{i=1}^k\frac{{\alpha }_i}{p_i}\ge \sum _{i=1}^k\frac{p_i}{p_i}=\sum _{i=1}^{k}1=k\ge 2$$

Điều này dẫn đến $1\ge 2$ (mâu thuẫn). Do đó, trường hợp $k\ge 2$ không tồn tại nghiệm.

Trường hợp 2: $k=1$.

Khi đó $n=p_1^{{\alpha }_1}$. Đẳng thức (*) trở thành:

$$\frac{{\alpha }_1}{p_1}=1⟹{\alpha }_1=p_1$$

Như vậy, $n$ có dạng $n=p^p$ với $p$ là một số nguyên tố.

Xét các số nguyên tố $p$ theo thứ tự tăng dần:
- Với $p=2⟹n=2^2=4<2026$ (loại).
- Với $p=3\Rightarrow n=3^3=27<2026$ (loại).
- Với $p=5\Rightarrow n=5^5=3125\ge 2026$ (thỏa mãn).
- Với các số nguyên tố $p\ge 7\Rightarrow n=p^p\ge 7^7=823543>3125$.

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn đề bài là:

$$n=3125$$