Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;0;2)$ và $\vec{b}=(0;1;-1)$. Góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;2;-1)$ và $B(1;-2;3)$. Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng

Trong không gian cho hình lập phương $ABCD.EFGH$, gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$ và $I$ là trọng tâm của tam giác $GBD$.

Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có tâm $O$. Gọi $I$ là trọng tâm của tam giác $BFD$.
Khi đó $\overrightarrow{IO}=\frac{a}{b}\overrightarrow{BH}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a\in Z$, $b\in N^{\ast }$. Tính $M=a^2+b^2$.

Hai vách ngăn của một gian hàng hội chợ được dựng vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt sàn. Để tăng cường độ vững chãi, người thợ lắp một thanh sắt hàn nối từ điểm $P$ trên vách thứ nhất đến điểm $Q$ trên vách thứ hai. Biết điểm $P$ cách vách thứ hai là $4m$ và cách mặt sàn là $1,2m$, điểm $Q$ cách vách thứ nhất là $3m$ và cách mặt sàn là $3,7m$. Thiết lập một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (như hình vẽ)

a/ Xác định tọa độ của hai điểm $P$ và $Q$ trong hệ tọa độ đó.
b/ Tính độ dài thanh sắt $PQ$.

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Tổng $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ bằng