Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$ có tâm $O$. Gọi $I$ là trọng tâm của tam giác $BFD$.
Khi đó $\overrightarrow{IO}=\frac{a}{b}\overrightarrow{BH}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a\in Z$, $b\in N^{\ast }$. Tính $M=a^2+b^2$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;2;1),B(1;-1;2),C(1;2;-1)$. Tọa độ điểm $M(a;b;c)$ thỏa mãn $\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}$ thì $a+b-c$ bằng bao nhiêu?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{AB{B}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{CB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$, $AB=2,BC=3,B{B}^{\prime }=1$. Gọi $M$ điểm thuộc đường thẳng $AC$, $N$ là điểm thuộc đường thẳng $D{C}^{\prime }$ sao cho hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ cùng phương. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;-3;3)$, $\vec{b}=(0;2;-1)$, $\vec{c}=(3;-1;5)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}$.

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $123^{\circ }$ và có độ lớn lần lượt là 25N và 17N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn 8N. Tính độ lớn hợp lực của ba lực trên. (Kết quả làm tròn đến hàng thập phân thứ nhất)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\vec{a}=(2;3;2)$ và $\vec{b}=(1;1;-1)$. Khi đó véc-tơ $\vec{a}+\vec{b}$ có tọa độ là