Một người thợ muốn làm một chiếc thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp từ $576c{m}^2$ vật liệu nhóm cao cấp. Biết đáy thùng là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Thể tích của hộp là lớn nhất bằng bao nhiêu $c{m}^3$?

Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất chi phí hết 1250 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai chi phí hết $0,04x^3$ nghìn đồng trên 1 giờ nếu tàu chạy với vận tốc $x$ km/giờ.

Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật $ABCD$. Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt $ABCD$ là $0,48m^2$. Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài $T=AB+BC+CD$ là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bác Hưng có một hàng rào thép dài $200m$ và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật giáp một con sông thẳng. Bác không cần rào phía cạnh con sông. Biết diện tích lớn nhất của thửa ruộng đó là $A(m^2)$. Giá trị của $A$ bằng bao nhiêu?

Tại một nhà máy, khi sản xuất $x$ tạ sản phẩm $(x>0)$ mỗi ngày thì chi phí trên mỗi tạ sản phẩm được tính bởi công thức: $C(x)=\frac{1}{2}x+4+\frac{8}{x}$ (triệu đồng/tạ). Tính chi phí thấp nhất (tính theo triệu đồng/tạ) mà nhà máy có thể đạt được trong ngày.

Bạn Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính $24cm$. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa được cắt ra đó.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $80cm$, người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại như hình sau để được một cái hộp không nắp.

Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.