Tại một nhà máy, khi sản xuất $x$ tạ sản phẩm $(x>0)$ mỗi ngày thì chi phí trên mỗi tạ sản phẩm được tính bởi công thức: $C(x)=\frac{1}{2}x+4+\frac{8}{x}$ (triệu đồng/tạ). Tính chi phí thấp nhất (tính theo triệu đồng/tạ) mà nhà máy có thể đạt được trong ngày.

Tại một nhà máy, khi sản xuất $x$ tạ sản phẩm $(x>0)$ mỗi ngày thì chi phí trên mỗi tạ sản phẩm được tính bởi công thức: $C(x)=\frac{1}{2}x-4+\frac{8}{x}$ (triệu đồng/tạ). Tính chi phí thấp nhất (tính theo triệu đồng/tạ) mà nhà máy có thể đạt được trong ngày.

Bạn Ngân có một tấm giấy màu có dạng nửa hình tròn bán kính $48cm$. Ngân cần cắt từ tấm giấy màu này ra một tấm giấy hình chữ nhật có một cạnh thuộc đường kính của nửa hình tròn (xem hình dưới) sao cho diện tích của tấm bìa được cắt ra là lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất của diện tích tấm bìa được cắt ra đó.

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh $40cm$, người ta cắt ở 4 góc bốn hình vuông bằng nhau, rồi gấp tấm nhôm lại như hình sau để được một cái hộp không nắp.

Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất.

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó $\left(0<x\le 2000\right)$, tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là $f(x)=2000x-x^2$ và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) doanh nghiệp chi ra là $g(x)=x^2+1440x+50$. Giả sử mức thuế thu phụ trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) $\left(0<t<300\right)$. Tìm mức thuế thu phụ $t$ (trên một đơn vị sản phẩm, đơn vị là nghìn đồng) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế thu phụ lớn nhất và doanh nghiệp cũng được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế thu phụ đó. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của nghìn đồng) (Nguồn: Nguyễn Huy Hoàng (Chủ biên), Hướng dẫn giải bài tập Toán Cao cấp cho các nhà kinh tế, phần 2: Giải tích toán học, Nhà xuất bản Thống kê 2007).

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là 9 km. Người ta đã xác định được một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$ có số tiền chi phí thấp nhất là 2.340.000.000 đồng. Khi đó khoảng cách $AD$ bằng bao nhiêu km, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t)=-t^3+12t^2,0\le t\le 12$, trong đó $N$ là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và $t$ là thời gian (tuần). Đạo hàm $N^{\prime }(t)$ biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?