Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy là các tam giác đều cạnh bằng 4 (như hình bên). Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;0;2)$ và $\vec{b}=(0;1;-1)$. Góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;2;-1)$ và $B(1;-2;3)$. Khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$ bằng

Rada của một trung tâm kiểm soát không lưu sân bay có phạm vi theo dõi $600km$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, trong đó đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Giả sử có máy bay đang bay tới vị trí $A$ có tọa độ $(185;-275;z)$. Độ cao lớn nhất máy bay có thể đạt mà rada trung tâm kiểm soát không lưu vẫn có thể phát hiện được là bao nhiêu $km$? (Làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong không gian $Oxyz$, cho 4 điểm $A(1;1;1)$, $B(3;3;1)$, $C(6;0;2)$, $D(2;4;2)$. Biết điểm $M$ di động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxz)$ để biểu thức $P=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-2{\overrightarrow{MC}}^2+3{\overrightarrow{MD}}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tọa độ $M$ và tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P$.

Trong không gian $Oxyz$, cho $A(3;2;-1)$, $B(1;-2;2)$, $C(-2;1;3)$, khi đó tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3;4;-1),B(-1;2;3),C(3;4;4)$. Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+{\left(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}\right)}^2=36$. Khi đó $MC$ đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?