Tính tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến đường tiệm cận xiên của nó bằng $\frac{1}{\sqrt[4]{2026}}$.

Cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các số thực. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm $M(0;1)$ và có một điểm cực trị là $A(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=4a+b+c$.

Câu 1. (5 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị.
2. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=25m$, chiều rộng $AD=20m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ($M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.

Ta xác định được các số $a,b,c$ để đồ thị hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đi qua điểm $(1;0)$ và có điểm cực trị $(-2;0)$. Tính giá trị biểu thức $T=a^2+b^2+c^2$.

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m-1$ có điểm cực đại là $M(a;b)$ và $a+b=5$. Tìm giá trị của $m$.

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m$ có điểm cực tiểu là $M(a;b)$ và $a+b=1$. Tìm giá trị của $m$.

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ $(0\le x\le 9,x\in \mathbb{N})$ là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.