Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m-1$ có điểm cực đại là $M(a;b)$ và $a+b=5$. Tìm giá trị của $m$.

Đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m$ có điểm cực tiểu là $M(a;b)$ và $a+b=1$. Tìm giá trị của $m$.

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ $(0\le x\le 9,x\in \mathbb{N})$ là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ với $a,b,c$ là các hệ số. Trong đó, $x$ $(0\le x\le 9,x\in \mathbb{N})$ là số tháng kể từ đầu năm học và $f(x)$ là điểm trong tháng thứ $x$. Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức thấp nhất trong ba năm học, là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu.

Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a;b)$ để hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3+bx+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x=1$?

Câu 2: (5,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hàm số sau:
$$y=x^3-6m{x}^2+32m^3,m\text{ laˋ tham soˆˊ thực.}$$
Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông cân.

Cho hàm số $f(x)=mx+2+\frac{m^2-m-3}{x-1}$ (với $m$ là tham số). Khi hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ thì giá trị $f(5)$ bằng: