Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 4. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD,B{B}^{\prime }$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $A(4;1;5),B(3;2;1),C(-3;4;2)$. Điểm $M(a;b;0)$ sao cho $S=M{A}^2+M{B}^2-M{C}^2$ nhỏ nhất. Giá trị của $3a+b$ bằng

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh bằng 2. Gọi $E,F,M$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$ và điểm $G$ là trực tâm của tam giác $BCD$. Giá trị $\cos \left(\overrightarrow{GE},\overrightarrow{MF}\right)$ bằng

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, hình chiếu vuông góc của đỉnh $C^{\prime }$ lên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là điểm $A$. Biết $AB=2,AC=3$, $A{A}^{\prime }=3\sqrt{2}$. Xét hệ tọa độ $Oxyz$ với $O$ trùng $A$, các tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB$, $AC$, $A{C}^{\prime }$, đơn vị trên mỗi trục là 1.

Trên hệ trục Oxyz cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$, tọa độ các đỉnh $A(1;-1;3)$, $B(-1;1;2)$, $C(0;2;2)$, $D(a;b;c)$.

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k}$ và $\vec{v}=(2;-1;1)$. Tính $\vec{u}.\vec{v}$?