Một hồ bơi có dạng là một hình chữ nhật với chiều dài 25 m, chiều rộng 15,5 m và bên cạnh đó là một hình bán nguyệt có đường kính 10 m được thiết kế như hình vẽ bên. Trong một lần bể bơi vắng người, bạn Nam đã thực hiện một chu trình bơi như sau: xuất phát từ $A$, bơi theo đường thẳng đến $C$ rồi bơi tiếp thẳng đến $M$, với $M$ là vị trí bất kỳ trên hình bán nguyệt. Sau đó từ $M$ Nam đi bộ dọc theo bờ hồ qua $D$ để quay lại vị trí $A$ (theo chiều mũi tên trên hình) và kết thúc chu trình. Biết rằng vận tốc bơi của Nam là $0,6m/s$ và vận tốc đi bộ là $1,2m/s$ (giả sử vận tốc bơi và vận tốc đi bộ không thay đổi trong chu trình trên). Hỏi thời gian tối đa để Nam thực hiện xong chu trình trên là bao nhiêu phút?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục theo hình vẽ: $C$ là đỉnh trái trên của hình chữ nhật, bán nguyệt đường kính $10$ m nằm trên cạnh trên với $D$ là đầu kia của đường kính (cách $C$ là $10$ m), $A$ là đỉnh phải dưới. Chu trình: bơi $A\to C$ (đường chéo hình chữ nhật), bơi $C\to M$ (dây cung của bán nguyệt), sau đó đi bộ dọc cung bán nguyệt từ $M$ qua đỉnh đến $D$, rồi đi dọc cạnh trên đoạn $25-10=15$ m và cạnh phải $15,5$ m về $A$.

- $AC=\sqrt{25^2+15,5^2}=\sqrt{865,25}\approx 29,41513$ m.
- Gọi $O$ là tâm bán nguyệt (bán kính $5$ m), $\alpha \in [0;\pi ]$ là góc ở tâm ứng với cung $CM$. Khi đó dây $CM=10\sin (\alpha /2)$; độ dài cung đi bộ từ $M$ qua đỉnh bán nguyệt đến $D$ là $5(\pi -\alpha )$; đoạn đi bộ còn lại là $15+15,5=30,5$ m.

Thời gian:
$$T(\alpha )=\frac{29,41513+10\sin (\alpha /2)}{0,6}+\frac{5(\pi -\alpha )+30,5}{1,2}.$$

Cực đại: $T^{\prime }(\alpha )=\frac{5\cos (\alpha /2)}{0,6}-\frac{5}{1,2}=0\Rightarrow \cos (\alpha /2)=0,5\Rightarrow \alpha =\frac{2\pi }{3}$, và $T^{\prime \prime }(\alpha )<0$ nên đây là điểm cực đại (cũng là giá trị lớn nhất trên $[0;\pi ]$).

Thay vào:
- Quãng đường bơi: $29,41513+10\sin (\pi /3)=29,41513+8,66025=38,07538$ m → thời gian bơi $=38,07538/0,6=63,45897$ s.
- Quãng đường đi bộ: $\frac{5\pi }{3}+30,5=5,23599+30,5=35,73599$ m → thời gian đi $=35,73599/1,2=29,77999$ s.

Tổng: $T=93,23896$ s $=1,55398$ phút.

Vậy thời gian tối đa để Nam thực hiện xong chu trình là $1,55398$ phút (khoảng $93,23896$ giây).