Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đếm có điều kiện kề nhau hoặc loại trừ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lưới có 9 cột, 5 hàng ô vuông nên đường đi từ $A$ (góc trên trái) đến $B$ (góc dưới phải) gồm 14 bước, trong đó 5 bước xuống và 9 bước sang phải. Nếu không có bãi bùn, số đường đi là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{5}\right)=2002$.

Gọi tọa độ: $A=(0,0)$, $B=(9,5)$, trục $x$ sang phải, trục $y$ xuống dưới. Theo hình vẽ: $C=(3,2)$, $G=(5,2)$, $D=(3,4)$, $E=(5,4)$, $K=(5,1)$, $H=(7,2)$, $I=(7,1)$.

Vì bé cún chỉ chạy trên các cạnh ô vuông, việc 'không được chạy vào miền trong' có nghĩa là không được dùng các cạnh nằm trọn trong miền tô đậm (các cạnh trên biên vẫn được dùng):
- Trong $CDEG$: cạnh dọc $x=4$ (từ $y=2$ đến $4$) và cạnh ngang $y=3$ (từ $x=3$ đến $5$) bị cấm, tức cả 4 cạnh tiếp giáp với điểm trong $(4,3)$ đều bị cấm → điểm $(4,3)$ không thể đi qua.
- Trong $GHIK$: cạnh dọc trong cùng là $(6,1)\to (6,2)$ bị cấm.

Dùng quy hoạch động: số đường đến điểm $(x,y)$ bằng tổng số đường đến $(x-1,y)$ và $(x,y-1)$, với các cạnh bị cấm không cộng vào.

Từng hàng:
- $y=0$: $1,1,1,1,1,1,1,1,1,1$
- $y=1$: $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$
- $y=2$: $1,3,6,10,15,21$; tại $x=6$: chỉ lấy từ trái $=21$ (cạnh $(6,1)\to (6,2)$ bị cấm); tiếp tục: $x=7:29$, $x=8:38$, $x=9:48$
- $y=3$: $x=3:20$; $x=4:0$ (bị cô lập); $x=5:21$; $x=6:42$; $x=7:71$; $x=8:109$; $x=9:157$
- $y=4$: $x=3:35$; $x=4:35$; $x=5:56$; $x=6:98$; $x=7:169$; $x=8:278$; $x=9:435$
- $y=5$: $x=4:91$; $x=5:147$; $x=6:245$; $x=7:414$; $x=8:692$; $x=9:1127$

Vậy số cách chạy từ $A$ đến $B$ là $1127$, khớp với đáp án đề cho.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi cột ghế (số 1,2,3,4) phải chứa đúng 1 nam và 1 nữ. Với mỗi cột, chọn dãy cho bạn nam: $2^4=16$ cách. Xếp 4 nam vào 4 cột: $4!=24$ cách; xếp 4 nữ vào 4 cột: $4!=24$ cách. Tổng: $16\cdot 24\cdot 24=9216$, khớp đáp án nguồn.

1. Trường hợp có 3 cạnh bằng nhau (tam giác đều): có 9 số

2. Trường hợp có 2 cạnh bằng nhau (tam giác không đều)

+ $a=b\ne c$: Điều kiện 2a > c

* a = 1: 2 > c; c = 1 loại

* a = 2: 4 > c; c = 1;3 có 2 số

* a = 3; 6 > c; c = 1;2;4;5 có 4 số

* a = 4; 8 > c; c = 1;2;3;5;6;7 có 6 số

* a = 5;6;7;8;9 mỗi a có 8 giá trị c có 40 số

Tổng có 2+4+6+40=52 số

Tương tự cho $a=c\ne b;b=c\ne a$

Vậy tổng cộng có: 9 + 52x3 = 165 số
Nếu thí sinh làm cách khác mà kết quả đúng vẫn cho điểm.

A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

TH 1: c = 0 vậy có 1 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 9 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 1.9.8 = 72 số

TH 2: c ≠ 0 Vậy có 4 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 4.8.8 = 256 số

Kết luận: 72+256= 328 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán

A= { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Gọi số cần tìm là $\overline{abc}$

TH 1: c = 0 vậy có 1 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 9 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 1.9.8 = 72 số

TH 2: c ≠ 0 Vậy có 4 cách chọn chữ số c
a ≠ 0, a ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số a
b ≠ a, b ≠ c vậy có 8 cách chọn chữ số b
Thực hiện liên tiếp ta có 4.8.8 = 256 số

Kết luận: 72+256= 328 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH1: 1 viên đỏ, 2 viên trắng hoặc đen: có $C_2^1.C_{13}^2=156$ cách. TH2: 2 viên đỏ, 1 viên trắng hoặc đen: có $C_2^2.C_{13}^1=13$ cách. Số cách để chọn ra 3 viên bi trong đó có ít nhất một viên bi đỏ là $156+13=169$ (cách chọn). Đúng 1 trường hợp: 0,25.

a) Gọi số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau cần lập là $\overline{abcde}$.
TH1: $\overline{abcd0}$ có $A_4^3=120$ số.
TH2: $\overline{abcde}$, $e\in \{2,4\}$, nên có 2 cách chọn $e$, có 4 cách chọn $a$ nên có $\mathrm{2.4.}{A}_4^3=192$ số.
Vậy tất cả có $120+192=312$ số. (1,5 điểm)

b) Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần bao gồm cả chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{9!}{3!2!}=30240$ số. (0,5 điểm)

Số cách lập được số tự nhiên gồm 9 chữ số trong đó chữ số 2 xuất hiện ba lần, chữ số 4 xuất hiện hai lần và các chữ số còn lại mỗi chữ số chỉ xuất hiện đúng một lần và chữ số 0 ở vị trí đầu tiên là $\frac{8!}{3!2!}=3360$ số.
Vậy có $30240-3360=26880$ số. (1,0 điểm)

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nam là một khối, ghép với 4 bạn nữ thành 5 đối tượng xếp hàng: $5!$ cách. Trong khối, 3 nam xếp với nhau: $3!$ cách. Tổng: $5!\cdot 3!=120\cdot 6=720$ cách, tức $5!\cdot 3!$. Khớp đáp án A (mã đề 102, đáp án câu 7 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Coi 3 bạn nữ là một khối, ta có 5 nam + 1 khối = 6 đối tượng xếp thành hàng: $6!$ cách. Trong khối, 3 bạn nữ xếp kề nhau: $3!$ cách. Tổng số cách là $6!\cdot 3!=720\cdot 6=4320$. Khớp với đáp án C và bảng đáp án mã đề 101 (câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn nên chữ số tận cùng là 0, 2, 4 hoặc 6.
- Tận cùng là 0: chọn 3 chữ số khác từ 6 chữ số còn lại xếp vào 3 vị trí đầu: $6\cdot 5\cdot 4=120$.
- Tận cùng là 2, 4 hoặc 6 (3 trường hợp): chữ số đầu khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách; hai vị trí còn lại chọn từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot 5\cdot 4=100$ mỗi trường hợp, tổng $3\cdot 100=300$.
Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$. Tổng $2\cdot 120=240$ → ĐÚNG.
b) Số tự nhiên có 1 chữ số lập từ các chữ số đã cho gồm: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 → có 7 số (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6 → SAI.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: chữ số hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách → $6\cdot 6=36$ → ĐÚNG.
d) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: nếu chữ số tận cùng là 0 có 6 cách; nếu tận cùng là 2; 4; 6 có $3\cdot 5=15$ cách. Tổng $6+15=21$, không phải 18 → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), ba chữ số sau chọn từ 6 chữ còn lại: $6\cdot 5\cdot 4=120$; tổng $2\cdot 120=240$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 7 số tự nhiên có 1 chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (0 cũng là số tự nhiên có 1 chữ số), không phải 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục: 6 cách (khác 0), hàng đơn vị: 6 cách → $6\cdot 6=36$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tận cùng 0: 6 cách; tận cùng 2; 4; 6: $3\cdot 5=15$ cách; tổng $21\ne 18$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần tìm là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2, tức chữ số tận cùng chẵn. Chữ số hàng trăm khác 0.

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Chọn hàng trăm: 9 cách (1–9); hàng chục: 8 cách (còn lại, khác 0 đã dùng). Suy ra $9\cdot 8=72$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách chọn). Hàng trăm: 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng); hàng chục: 8 cách (khác hai chữ số đã dùng, được phép là 0). Suy ra $4\cdot 8\cdot 8=256$ số.

Tổng: $72+256=328$ số. Kết quả trùng với đáp án nguồn (328).

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 (7 chữ số).
a) Số chẵn có 2 chữ số khác nhau: chữ số tận cùng là 0 thì có 6 cách chọn chữ số hàng chục; tận cùng là 2, 4, 6 thì mỗi trường hợp có 5 cách (hàng chục khác 0 và khác chữ số tận cùng), tổng $6+3\cdot 5=21\ne 18$ → Sai.
b) Số có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000: chữ số đầu là 5 hoặc 6 (2 cách), sau đó $6\cdot 5\cdot 4$ cách, tổng $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) Số có 2 chữ số khác nhau: hàng chục có 6 cách (khác 0), hàng đơn vị có 6 cách, tổng $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) Số tự nhiên có 1 chữ số lập được từ các chữ số 0;1;2;3;4;5;6 là 0,1,2,3,4,5,6 tức 7 số (nếu không tính 0 thì là 6 số, nhưng 0 là số tự nhiên có 1 chữ số) → khẳng định 6 số là Sai, phù hợp đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn 2 chữ số khác nhau: tận cùng 0 có 6 cách; tận cùng 2,4,6 có 5 cách mỗi trường hợp; tổng $6+15=21\ne 18$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chữ số đầu là 5 hoặc 6: $2\cdot 6\cdot 5\cdot 4=240$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng chục 6 cách (khác 0), hàng đơn vị 6 cách: $6\cdot 6=36$ → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các số tự nhiên có 1 chữ số từ bộ chữ số đã cho là 0,1,2,3,4,5,6: có 7 số, không phải 6 → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 (chữ số tận cùng chẵn). Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0, chọn chữ số hàng trăm có 9 cách (khác 0), chữ số hàng chục có 8 cách (khác hai chữ số đã chọn) → $9\cdot 8=72$ số. Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2, 4, 6 hoặc 8 (4 cách), chữ số hàng trăm có 8 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số hàng chục có 8 cách → $4\cdot 8\cdot 8=256$ số. Tổng: $72+256=328$ số, khớp với đáp án nguồn 328.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (trước, sau, giữa các nam) để chèn 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn 2 trong 6 khoảng và xếp 2 nữ vào: $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 bạn nam thành hàng ngang: $5!=120$ cách. Sau khi xếp nam, có 6 khoảng trống (kể cả hai đầu) để đặt 2 bạn nữ sao cho không cạnh nhau: chọn và xếp 2 vị trí từ 6 khoảng là $A_6^2=30$ cách. Tổng: $120\times 30=3600$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn (3600).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 7 học sinh từ 15 học sinh là $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có học sinh khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Các trường hợp này đôi một khác nhau (không thể thiếu cùng lúc hai khối vì chỉ còn 9 học sinh < 7... thực tế thiếu hai khối chỉ còn tối đa 6 học sinh nên không thể chọn đủ 7). Vậy số cách chọn thỏa mãn mỗi khối ít nhất 1 học sinh là $6435-(330+120+36)=5949$, khớp với đáp án nguồn.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù trừ. Tổng số cách chọn 7 từ 15 học sinh: $C_{15}^7=6435$. Số cách chọn không có khối A: $C_{11}^7=330$; không có khối B: $C_{10}^7=120$; không có khối C: $C_9^7=36$. Không thể chọn 7 học sinh chỉ từ một khối (vì mỗi khối có ít hơn 7 học sinh), nên không cần cộng lại. Kết quả: $6435-330-120-36=5949$. Khớp với đáp án nguồn 5949.

Xét số có hình thức $\overline{0bcde}$. Số cách hoán đổi vị trí hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 2, 3 là: $3!$. Vậy số các số được lập theo hình thức này là $2.3!=12$.

Xét số có hình thức $\overline{abcde}$ trong đó $a$ được phép bằng 0. Số cách hoán đổi vị trí của hai chữ số 1, 4 (cùng nhóm $X$) là 2. Số cách hoán đổi vị trí của $X$ với các chữ số 0, 2, 3 là: $4!$. Số các số được lập theo hình thức này là $2.4!=48$.

Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là $48-12=36$. (0,25 + 0,25 điểm)