Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 10 THPT Quảng Trị 2025-2026

Câu 1 (6 điểm):
a. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{4}{2026-x}-\frac{x+4}{\sqrt{x^2-7x+6}}$.
b. Cho hàm số $y=x^2-3x+4$ có đồ thị là $(P)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $y=2x-m$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{A}^2+O{B}^2=57$, với $O$ là gốc tọa độ.

Câu 2 (5 điểm):
a. Giải phương trình $\left(x^2-x-1\right)\sqrt{-x^2+7x-6}=-x^3+5x^2-3x-4$.
b. Trong năm 2026, một cửa hàng kinh doanh xe máy dự định kinh doanh hai loại xe máy Lead và xe máy Vision, với tổng số vốn ban đầu không vượt quá 36 tỉ đồng. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Lead là 40 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 5 triệu đồng một chiếc. Giá nhập về 1 chiếc xe máy Vision là 30 triệu đồng, lợi nhuận dự kiến là 3,2 triệu đồng một chiếc. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu thị trường không vượt quá 1 100 chiếc xe cả hai loại và nhu cầu xe Lead không vượt quá 1,5 lần nhu cầu xe Vision. Hỏi lợi nhuận có thể thu được lớn nhất của cửa hàng là bao nhiêu tiền?

Câu 3 (5 điểm):
a. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $N,P$ lần lượt là các điểm thỏa mãn $2\overrightarrow{BN}+5\overrightarrow{NC}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PC}$, $k\in \mathbb{R}$. Tìm $k$ để 3 điểm $G,P,N$ thẳng hàng.
b. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G(2;-3)$ và $B(1;1)$. Đường thẳng $\Delta :x-y-4=0$ đi qua $A$ và đường phân giác trong của góc $A$ cắt $BC$ tại điểm $I$ sao cho diện tích tam giác $IAB$ bằng $\frac{4}{5}$ diện tích tam giác $IAC$. Biết điểm $A$ có hoành độ dương, viết phương trình tổng quát của đường thẳng $BC$.

Câu 4 (2 điểm): Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+y^2=1+xy$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $S=x^4+y^4-x^2{y}^2$. Tính giá trị của $M+m$.

Câu 5 (2 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số dạng $\overline{abc}$ thỏa mãn $a;b;c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác cân (kể cả tam giác đều)?