Một nhóm có 5 bạn nam và 2 bạn nữ. Có bao nhiêu cách xếp tất cả các bạn trong nhóm thành một hàng ngang sao cho 2 bạn nữ không đứng cạnh nhau.

Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần.

Một hộp đựng 10 thẻ, đánh số từ 1 đến 10. Chọn ngẫu nhiên 3 thẻ. Gọi $A$ là biến cố để tổng số của 3 thẻ được chọn không vượt quá 8. Tính số phần tử của biến cố $A$

Một nhóm học sinh gồm $10$ em, trong đó có hai em Mơ và Mộng. Có bao nhiêu cách sắp xếp $10$ học sinh này thành một hàng dọc sao cho hai em Mơ, Mộng không đứng cạnh nhau?

Xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dũng, Phúc vào bàn dài nằm ngang, có năm ghế, mỗi bạn ngồi một ghế. Có bao nhiêu cách xếp sao cho An và Bình ngồi hai ghế cạnh nhau?

Một hội nghị quốc tế có $12$ đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có $5$ người, đoàn Nhật Bản có $4$ người và đoàn Hàn Quốc có $3$ người, trong mỗi đoàn đều có $1$ trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp $12$ đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có $12$ chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi $N$ là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị $\frac{N}{24}$ bằng bao nhiêu?

Một nhóm học sinh gồm $7$ bạn nam và $4$ bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để có đúng $2$ trong $4$ bạn nữ đứng cạnh nhau là: