Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động. Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau. Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần.

Một nhóm học sinh gồm $10$ em, trong đó có hai em Mơ và Mộng. Có bao nhiêu cách sắp xếp $10$ học sinh này thành một hàng dọc sao cho hai em Mơ, Mộng không đứng cạnh nhau?

Xếp năm bạn An, Bình, Chi, Dũng, Phúc vào bàn dài nằm ngang, có năm ghế, mỗi bạn ngồi một ghế. Có bao nhiêu cách xếp sao cho An và Bình ngồi hai ghế cạnh nhau?

Một hội nghị quốc tế có $12$ đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có $5$ người, đoàn Nhật Bản có $4$ người và đoàn Hàn Quốc có $3$ người, trong mỗi đoàn đều có $1$ trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp $12$ đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có $12$ chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi $N$ là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị $\frac{N}{24}$ bằng bao nhiêu?

Một nhóm học sinh gồm $7$ bạn nam và $4$ bạn nữ đứng ngẫu nhiên thành một hàng. Xác suất để có đúng $2$ trong $4$ bạn nữ đứng cạnh nhau là:

Có bao nhiêu cách xếp $7$ học sinh trong một tổ (trong đó có hai bạn A và B) thành một hàng ngang sao cho hai bạn A và B đứng gần nhau?

Một máy chủ cần xử lý tuần tự $15$ tệp dữ liệu khác nhau, bao gồm: $3$ tệp văn bản, $5$ tệp âm thanh và $7$ tệp video. Việc xử lý liên tục các tệp dữ liệu cùng loại sẽ làm giảm hiệu suất của hệ thống. Do đó, hệ thống phải sắp xếp thứ tự xử lý sao cho không có bất kỳ hai tệp dữ liệu cùng loại nào (văn bản, âm thanh, video) được xếp liền kề nhau. Gọi $S$ là số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu trên. Hãy tính tổng các chữ số của $S$.