Một hội nghị quốc tế có $12$ đại biểu đến từ ba đoàn, đoàn Việt Nam có $5$ người, đoàn Nhật Bản có $4$ người và đoàn Hàn Quốc có $3$ người, trong mỗi đoàn đều có $1$ trưởng đoàn. Công ty tổ chức cần sắp xếp $12$ đại biểu ngồi trên một hàng ghế dài có $12$ chỗ ngồi, thỏa mãn các yêu cầu:
+ Các đại biểu cùng quốc tịch phải ngồi cạnh nhau, tạo thành một nhóm liên tiếp.
+ Không có hai trưởng đoàn nào ngồi cạnh nhau.
Gọi $N$ là tổng số cách sắp xếp thỏa mãn các yêu cầu trên, giá trị $\frac{N}{24}$ bằng bao nhiêu?

Số cách sắp xếp hoàn toàn tự do sao cho các đại biểu cùng quốc tịch ngồi thành từng khối liên tiếp là $3!\cdot 5!\cdot 4!\cdot 3!$.
Do mỗi đoàn đều có từ $3$ người trở lên, trưởng đoàn của đoàn ngồi giữa không thể đồng thời ngồi ở cả hai đầu của khối giữa, nên hai biến cố "hai trưởng đoàn ngồi cạnh nhau ở ranh giới thứ nhất" và "hai trưởng đoàn ngồi cạnh nhau ở ranh giới thứ hai" là xung khắc.
Với mỗi thứ tự xếp $3$ đoàn có sĩ số $(n_1,n_2,n_3)$, số cách xếp vi phạm (có hai trưởng đoàn ngồi cạnh nhau ở một trong hai ranh giới) là:
$(n_1-1)!(n_2-1)!n_3!+n_1!(n_2-1)!(n_3-1)!=n_1!n_2!n_3!\left(\frac{1}{n_1{n}_2}+\frac{1}{n_2{n}_3}\right)$.
Lấy tổng trên tất cả $3!=6$ hoán vị của $(5,4,3)$:
- Khi đoàn giữa có $5$ người ($2$ hoán vị): xác suất vi phạm mỗi hoán vị là $\frac{1}{4\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 3}=\frac{7}{60}$.
- Khi đoàn giữa có $4$ người ($2$ hoán vị): xác suất vi phạm mỗi hoán vị là $\frac{1}{5\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 3}=\frac{8}{60}$.
- Khi đoàn giữa có $3$ người ($2$ hoán vị): xác suất vi phạm mỗi hoán vị là $\frac{1}{5\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{9}{60}$.
Suy ra $N=5!\cdot 4!\cdot 3!\cdot 2\cdot \left[\left(1-\frac{7}{60}\right)+\left(1-\frac{8}{60}\right)+\left(1-\frac{9}{60}\right)\right]=120\cdot 24\cdot 6\cdot 2\cdot \frac{156}{60}=89856$.
Vậy $\frac{N}{24}=\frac{89856}{24}=3744$.