Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x+y-5z+4=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+5}{6}$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ và vuông góc với $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình d có u=(2;1;6), từ (P) có n=(1;1;-5). b) Đúng: M(-1;-1;-5) là điểm trên d (thay vào d thỏa mãn), mà d⊂(Q) nên M∈(Q). c) Sai: pháp tuyến của (Q) là u×n_P = (2;1;6)×(1;1;-5) = (-11;16;1). Kiểm tra (1;-11;16): tích có hướng với u bằng (2·16-6·(-11); 6·1-2·16; 2·(-11)-1·1) = (98;-26;-23) ≠ 0 nên không vuông góc với u, không thể là pháp tuyến của (Q). d) Đúng: (Q): -11x+16y+z+10=0. Vectơ chỉ phương của d' = n_P×n_Q = (1;1;-5)×(-11;16;1) = (81;54;27) ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thỏa cả hai phương trình: (P): 1+0-5+4=0; (Q): -11+0+1+10=0. Vậy d': x=1+3t, y=2t, z=1+t đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình d: (x+1)/2=(y+1)/1=(z+5)/6 suy ra u=(2;1;6). Từ (P): x+y-5z+4=0 suy ra n=(1;1;-5).
b) (AI giải đề cho tôi)
M(-1;-1;-5) thỏa phương trình d nên M∈d⊂(Q), do đó M∈(Q).
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Q) là u×n_P=(2;1;6)×(1;1;-5)=(-11;16;1). Vectơ (1;-11;16) không vuông góc với u=(2;1;6) vì 2-11+96=87≠0, nên không phải pháp tuyến của (Q).
d) (AI giải đề cho tôi)
(Q): -11x+16y+z+10=0. Chỉ phương d' = n_P×n_Q ∝ (3;2;1). Điểm (1;0;1) thuộc cả (P) và (Q), nên d': x=1+3t, y=2t, z=1+t.