Trong không gian $(Oxyz)$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-2+5t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=2+s\\ z=1+3s\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
d1 có điểm A1(1;2;-2), vecto chỉ phương u1=(2;1;5); d2 có điểm A2(1;2;1), vecto chỉ phương u2=(1;1;3).
a) Với d1: 1+2t=-1 → t=-1, khi đó điểm là (-1;1;-7) ≠ N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định 'đều đi qua N' là sai.
b) A1A2=(0;0;3); u1×u2=(1·3-5·1; 5·1-2·3; 2·1-1·1)=(-2;-1;1). Tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2 = 3≠0 nên d1, d2 chéo nhau, không đồng phẳng → sai.
c) cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=|2+1+15|/(√30·√11)=18/√330≈0,9909 → θ≈7,75° → đúng.
d) Đường Δ: x=1-2t, y=2-t, z=1+t có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 nên vuông góc với cả u1 và u2. Kiểm tra cắt d1: hệ 1-2t=1+2s, 2-t=2+s, 1+t=-2+5s cho t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Kiểm tra cắt d2: 1-2t=1+s, 2-t=2+s, 1+t=1+3s cho t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, tức là đường vuông góc chung → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay t=-1 vào d1 được điểm (-1;1;-7)≠N(-1;0;-5), nên N không thuộc d1 (N chỉ thuộc d2 với s=-2). Vậy khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
A1A2=(0;0;3); u1×u2=(-2;-1;1); tích hỗn hợp [u1,u2]·A1A2=3≠0 nên hai đường chéo nhau, không đồng phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosθ=|u1·u2|/(|u1||u2|)=18/√330≈0,9909 nên θ≈7,75°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ có vecto chỉ phương (-2;-1;1)=u1×u2 vuông góc cả u1, u2. Giải với d1 được t=-1/2, s=1/2, điểm chung (2; 5/2; 1/2) thỏa cả hai. Giải với d2 được t=0, s=0, điểm chung (1;2;1) thuộc d2. Vậy Δ cắt cả d1 và d2 và vuông góc với cả hai, nên là đường vuông góc chung.