Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S^{\prime }):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=9$ và ba điểm $A(1;0;0)$, $B(2;1;3)$, $C(0;2;-3)$. Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn biểu thức $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ là đường tròn cố định, bán kính $r$ của đường tròn này là

(AI giải đề cho tôi)
Với $M(x;y;z)$, ta có $M{A}^2=(x-1{)}^2+y^2+z^2$ và $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=(x-2)x+(y-1)(y-2)+(z-3)(z+3)=x^2-2x+y^2-3y+2+z^2-9$.

Biểu thức $M{A}^2+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=8$ trở thành:
$$3x^2+3y^2+3z^2-6x-6y-13=8\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2=9.$$
Vậy $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ tâm $I(1;1;0)$ bán kính $R=3$.

Mặt cầu $(S^{\prime })$ có tâm $O^{\prime }(3;3;2)$, bán kính $3$. Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao của hai mặt cầu (trừ hai phương trình):
$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+z^2-\left[(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2\right]=0\iff x+y+z=5.$$
Khoảng cách từ $O^{\prime }$ đến mặt phẳng này: $d=\frac{|3+3+2-5|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$.

Bán kính đường tròn giao:
$$r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}.$$
Vậy chọn đáp án A.