Mệnh đề “$\exists x\in \mathbb{R},x^2=3$” khẳng định rằng:

Mệnh đề $P(x)$: "$\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+7<0$". Phủ định của mệnh đề $P$ là

Với mỗi cặp số nguyên dương $a$ và $b$, ký hiệu $f(a,b)=11a+6b+8ab$.

(1) Chứng minh rằng với $a,b,c,d\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $m>1$ là lũy thừa của 2, nếu:

$$f(a,b)\equiv f(c,d)(\mathrm{mod}m)\text{vaˋ}f(b,a)\equiv f(d,c)(\mathrm{mod}m)$$

thì $a-c$ và $b-d$ đều chia hết cho $m$.

Hỏi kết luận có còn đúng không nếu $m$ có ước nguyên tố lẻ?

(2) Chứng minh rằng $k=2$ là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho $f(a,b)+k$ không là số chính phương $\forall a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

Gọi một đa thức hệ số thực là monic nếu nó có hệ số của bậc cao nhất bằng 1.
(1) Xây dựng đa thức $f(x)$ có hệ số nguyên, bậc 29, monic, $2026\mid f(0)$ sao cho: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $3\mid f(n)$ thì đều có $3^{42}\mid f(n)$.
(2) Cho số nguyên dương $k>1$ và số nguyên tố $p$ lẻ. Chứng minh rằng $k+v_p(k!)$ là giá trị lớn nhất của số nguyên dương $m$ sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ hệ số nguyên bậc $k$, monic, $p\mid f(0)$ và thỏa mãn: $\forall n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ mà $p\mid f(n)$ thì đều có $p^m\mid f(n)$.

Xét số nguyên $n\ge 3$. Ký hiệu $1=a_1<\dots <a_k=n-1$ là tất cả các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$. Đặt $f(n)$ là ước chung lớn nhất của các số $a_1^3-1,\dots ,a_k^3-1$. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $f(n)=2$.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: "$\exists x\in \mathbb{Z}:3x+1\le 1$" là

Mệnh đề phủ định của mệnh đề: "$\exists x\in \mathbb{Z}:3x+1\le 1$" là