Cho tứ giác $ABCD$ có $AD=3$, $BC=4$, $AD\perp BC$. Điểm $M$ thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0$. Biết rằng điểm $M$ luôn nằm trong một đường tròn cố định có bán kính bằng $\frac{\sqrt{a}}{4}$. Tính $a$.

Đáp án: 25.
Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$.
Ta có: $\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right).\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)=0\iff 2\overrightarrow{MP}.2\overrightarrow{MQ}=0\iff \overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0$.
Nếu $M$ không trùng với $P,Q$ thì $\overrightarrow{MP}.\overrightarrow{MQ}=0\iff MP\perp MQ$. Do đó $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Nếu $M$ trùng với $P$ hoặc $Q$ thì hiển nhiên $M$ thuộc đường tròn đường kính $PQ$.
Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)$.
Suy ra: $P{Q}^2=\frac{1}{4}{\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right)}^2=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{4}\left(A{D}^2+B{C}^2+2.0\right)=\frac{1}{4}\left(3^2+4^2\right)=\frac{25}{4}$.
$\Rightarrow PQ=\frac{\sqrt{25}}{2}$.
Vậy điểm $M$ luôn nằm trong một đường tròn cố định có bán kính bằng $R=\frac{\sqrt{25}}{4}$.