Trên tập hợp các số phức, xét phương trình $z^4+2(m+2)z^2+3m+2=0$, ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm $A,B,C,D$ biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng $4$?

Đặt $t=z^2$, phương trình trở thành $t^2+2(m+2)t+3m+2=0$ $(1)$.
Ta có ${\Delta }^{\prime }=(m+2{)}^2-(3m+2)=m^2+m+2>0$, $\forall m\in \mathbb{R}$, do đó phương trình $(1)$ luôn có hai nghiệm thực phân biệt.
Nếu $(1)$ có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm $A,B,C,D$ thẳng hàng (cùng thuộc $Ox$ hoặc cùng thuộc $Oy$) nên không thỏa mãn bài toán.
Nếu $(1)$ có hai nghiệm trái dấu $t_1<0<t_2$, tức là $3m+2<0\iff m<-\frac{2}{3}$ thì phương trình đã cho có $4$ nghiệm phân biệt là $\pm \sqrt{t_2}$ và $\pm i\sqrt{-t_1}$.
Giả sử $A(-\sqrt{t_2};0)$, $B(0;\sqrt{-t_1})$, $C(\sqrt{t_2};0)$ và $D(0;-\sqrt{-t_1})$. Khi đó bốn điểm $A,B,C,D$ tạo thành một hình thoi.
Diện tích hình thoi $ABCD$ bằng $\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t_2}\cdot 2\sqrt{-t_1}=2\sqrt{-t_1{t}_2}$.
Từ giả thiết và theo định lý Vi-ét, ta có $2\sqrt{-3m-2}=4\iff m=-2$ (thỏa mãn $m<-\frac{2}{3}$).
Vậy có $1$ giá trị của $m$ thỏa mãn.