Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-2}{2}$ song song với mặt phẳng $(P):x+2y+2z+3=0$. Khoảng cách giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Tính khoảng cách từ điểm $M(2;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-25=0$

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(0;1;2)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-5=0$ bằng

Cho điểm $A(1;2;5)$ và mặt phẳng $(P):x+2y-2z+2=0$. Mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cách $A$ một khoảng bằng $1$ có dạng $(Q):x-by+cz+d=0$. Tính $S=-b-3c+d$.

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(2;-1;6)$, $B(-3;-1;-4)$, $C(5;-1;0)$ và $D(1;2;1)$. Độ dài chiều cao của tứ diện $ABCD$ kẻ từ đỉnh $A$ bằng

Một ngôi nhà được thiết kế $1$ mặt kính có dạng là hình tứ giác $ABCD$ để ngắm cảnh bên ngoài. Ngôi nhà cao $4\text{ meˊt}$ được đặt vuông góc với mặt đất, sàn nhà là hình vuông có cạnh bằng $4\text{ meˊt}$, trên hệ tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, mặt kính $ABCD$ được thiết kế như hình vẽ. Để gia cố chắc chắn cho mặt kính, người chủ nhà dự định dùng hai thanh xà gồ lắp đặt như sau:
- Thanh thứ nhất một đầu cố định vào trung điểm của $BC$, dựng vuông góc với mặt kính, đầu còn lại cố định dưới sàn nhà.
- Thanh thứ hai một đầu cố định vào điểm $P(2;3;0)$ dưới sàn nhà, dựng vuông góc với mặt đất, đầu còn lại cố định vào mặt kính.
Hỏi tổng độ dài của hai thanh xà gồ là bao nhiêu mét (không làm tròn các bước tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm)?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z  9 và hai mặt phẳng 2 2 2  P  : 2 x  y  2 z  0,  Q  : x  y  3  0 . Xét   là mặt phẳng thay đổi, song song với giao tuyến của hai mặt phẳng  P  ,  Q  và tiếp xúc với mặt cầu  S  . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm A  4; 3;5 đến mặt phẳng   . Giá trị của M  m thuộc khoảng nào dưới đây?